Question

已知拋物線y=

1

3

x²-

2

3

x-1．
（1）求它的頂點M的坐標(biāo)；
（2）求它與x軸的兩個交點A、B（A左B右）的坐標(biāo)，并畫出草圖；
（3）觀察草圖指出，當(dāng)x為何值時，y=0？y＜0？y＞0？
（4）設(shè)拋物線與y軸的交點為C，求四邊形ABMC的面積．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,二次函數(shù)與不等式（組）

專題：

分析：（1）把拋物線方程轉(zhuǎn)化為頂點式方程，然后可以直接寫出答案；
（2）根據(jù)拋物線方程求得點A、B的坐標(biāo)，然后由拋物線開口方程、頂點坐標(biāo)、與y軸的交點以及頂點坐標(biāo)畫出草圖；
（3）根據(jù)圖形寫出答案；
（4）將四邊形ABMC分成梯形和兩個直角三角形三部分來求．

解答：解：（1）∵y=

1

3

x²-

2

3

x-1=

1

3

（x-1）²-

4

3

，
∴它的頂點M的坐標(biāo)為：（1，-

4

3

）．

（2）令y=0，則

1

3

x²-

2

3

x-1=0，
整理，得
（x-3）（x+1）=0，
解得 x₁=3，x₂=-1，
∵該拋物線與x軸的兩個交點A在B的左邊，
∴A（-1，0），（3，0）．
令x=0，則y=-1，故該拋物線與y軸的交點坐標(biāo)是（0，-1）．
又∵

1

3

＞0，
∴該拋物線的開口方向向上．
結(jié)合（1）中拋物線的頂點坐標(biāo)M（1，-

4

3

）作出如下圖象：
；

（3）根據(jù)圖示知，當(dāng)x=-1或x=3時，y=0；
當(dāng)x＜-1或x＞3時，y＞0；
當(dāng)-1＜x＜3時，y＜0；

（4）如上圖，連接AC、CM、MB．
則有S_{四邊形ABMC}=S_△AOC+S_△BMN+S_梯形MNOC
=

1

2

OA•OC+

1

2

BN•MN+

1

2

（OC+MN）•ON
=

1

2

×1×1+

1

2

×1×

4

3

+

1

2

×（1+

4

3

）×1
=

7

3

．

點評：此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，考查了通過配方法求頂點式，求頂點坐標(biāo)，對稱軸；還考查了根據(jù)對稱軸了解二次函數(shù)的增減性及觀察圖象回答問題的能力．