Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)C（1，2）分別作x軸、y軸的平行線，交直線DE于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（6，0），點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，6）．
（1）求直線DE的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo)，若反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，求該反比例函數(shù)的解析式，并通過計(jì)算判斷點(diǎn)B是否在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上；
（2）若反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象與△ABC有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，將D與E坐標(biāo)代入求出k與b的值，確定出解析式，根據(jù)C坐標(biāo)求出A的坐標(biāo)，即可確定出反比例解析式；將B代入計(jì)算判斷即可；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，當(dāng)反比例函數(shù)與點(diǎn)C相交時(shí)，k最小，設(shè)與線段AB相交于點(diǎn)（x，-x+6）時(shí)k值最大，即可確定出k的范圍．

解答：解：（1）設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，
∵點(diǎn)D（6，0）和E（0，6）在該直線上，
∴

b=6 6k+b=0

，
解得：

k=-1 b=6

，
∴直線DE的解析式為y=-x+6，
∵AC∥x軸，點(diǎn)A與點(diǎn)C（1，2）縱坐標(biāo)相等，
∴當(dāng)y=2時(shí)，-x+6=2，
解得：x=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），
∵反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，
∴k=4×2=8，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

8

x

，
∵BC∥y軸，點(diǎn)B與點(diǎn)C（1，2）橫坐標(biāo)相等，
將x=1代入y=-x+6得y=5，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，5），而1×5=5≠8，
∴點(diǎn)B不在該反比例函數(shù)的圖象上；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，
當(dāng)反比例函數(shù)與點(diǎn)C相交時(shí)，k=1×2=2最小，設(shè)與線段AB相交于點(diǎn)（x，-x+6）時(shí)k值最大，
則k=x（-x+6）=-x²+6x=-（x-3）²+9，
∵1≤x≤4，
∴當(dāng)x=3時(shí)，k值最大為9，此時(shí)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），
∴k的取值范圍是2≤k≤9．

點(diǎn)評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．