Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長為10cm，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿AB的延長線BF向右運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)D，E都以1cm/s的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中DE與BC相交于點(diǎn)P，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A后兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

（1）當(dāng)△ADE是直角三角形時(shí)，求D，E兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

（2）求證：在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P始終是線段DE的中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）s；（2）證明見解析

【解析】

（1）經(jīng)過分析當(dāng)△ADE是直角三角形時(shí)，只有∠ADE=90°的情況，此時(shí)∠AED=30°．用運(yùn)動(dòng)時(shí)間t表示出AD和AE，根據(jù)30度直角三角形的性質(zhì)構(gòu)造關(guān)于t的方程即可求解；

（2）過D點(diǎn)作DK∥AB交BC于點(diǎn)K，證明△DKP≌△EBP即可說明點(diǎn)P始終是線段DE的中點(diǎn)．

（1）當(dāng)△ADE是直角三角形時(shí)，只有∠ADE＝90°的情況，

∵∠A＝60°，

∴∠AED＝30°，

∴AE＝2AD，

設(shè)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間也為t，

∴AD＝10﹣t，AE＝10+t，

∴10+t＝2（10﹣t），解得t＝，

所以當(dāng)△ADE是直角三角形時(shí)，D，E兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒；

（2）過點(diǎn)D作DK∥AB交BC于點(diǎn)K，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠C＝∠CDK＝∠CKD＝60°，

∴CD＝DK＝CK，∠DKP＝∠EBP＝120°，

設(shè)D、E運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則CD＝BE＝t，

在△DKP和△EBP中，

∴△DKP≌△EBP（AAS），

∴PD＝PE，

所以P始終為DE中點(diǎn)．