Question

【題目】如圖，直線l：y＝x﹣2分別交x，y軸于A、B兩點(diǎn)，C、D是直線l上的兩個動點(diǎn)，點(diǎn)C在第一象限，點(diǎn)D在第三象限．且始終有∠COD＝135°．

（1）求證：△OAC∽△DBO；

（2）若點(diǎn)C、D都在反比例函數(shù)y＝的圖象上，求k的值；

（3）記△OBD的面積為S1，△AOC的面積為S2，且＝，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c滿足以下兩個條件：①圖象過C、D兩點(diǎn)；②當(dāng)S1xS2時，y有最大值2，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)，可求∠OAB＝∠OBA＝45°，由外角的性質(zhì)可求∠DOB＝∠ACO，∠AOC＝∠ODB，可證△OAC∽△DBO；

（2）由相似三角形的性質(zhì)可得，設(shè)＝a＞0，用a表示點(diǎn)C，點(diǎn)D坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式，可求解；

（3）先求出點(diǎn)C，點(diǎn)D坐標(biāo)，代入解析式，由題意可得當(dāng)x＝2時，y有最大值2，組成方程組，可求a的值.

解：（1）∵直線l：y＝x﹣2分別交x，y軸于A、B兩點(diǎn)，

∴點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，﹣2），

∴AO＝BO＝2，

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，

∴∠OCA+∠AOC＝45°，∠ODB+∠DOB＝45°，

∵∠COD＝135°，

∴∠DOB+∠AOB+∠AOC＝135°，

∴∠DOB+∠AOC＝45°，

∴∠DOB＝∠ACO，∠AOC＝∠ODB，

∴△OAC∽△DBO；

（2）如圖，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于E，

∵△OAC∽△DBO，

∴,

∴設(shè)＝a＞0，

∴BD＝，AC＝2a，

∵∠CAF＝∠OAB＝45°，

∴∠ACF＝∠CAF＝45°，

∴AF＝CF＝＝a，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)（2+a，a），

同理可求點(diǎn)D坐標(biāo)（﹣，﹣2﹣），

∵點(diǎn)C、D都在反比例函數(shù)y＝的圖象上，

∴（2+a）a＝（2+）

∴（a2+2a+）（a+1）（a﹣1）＝0，

∵a＞0，

∴a2+2a+≠0，a+1≠0，

∴a﹣1＝0，

∴點(diǎn)C（2+，）

∴k＝（2+）＝；

（3）∵△OAC∽△DBO，

∴,

∴,

∴AC＝2，

∴AF＝CF＝2，

∴點(diǎn)C（4，2），

∵，

∴ ,

∴BD＝，

∴DE＝BE＝1，

∴點(diǎn)D（﹣1，﹣3），

∴△OBD的面積為S1＝×2×1＝1，△AOC的面積為S2＝×2×2＝2，

∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c滿足以下兩個條件：①圖象過C、D兩點(diǎn)；②當(dāng)1≤x≤2時，y有最大值2，

∴，

解得： ，

∴a＝.