Question

已知：如圖，在△CDE中，∠DCE=90°，CD=CE，直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且點(diǎn)D、E在直線AB的同側(cè)，在直線AB上點(diǎn)C的左、右兩側(cè)分別取點(diǎn)A、B，使得∠DAC=∠EBC=∠DCE．
（1）求證：AB=AD+BE；
（2）如果將問(wèn)題中的條件“∠DCE=90°”改為“∠DCE=β”，其他條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？為什么？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，且CD=CE，利用AAS得到三角形ACD與三角形BCE全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AD=BC，AC=BE，由AB=AC+CB，等量代換即可得證；
（2）將問(wèn)題中的條件“∠DCE=90°”改為“∠DCE=β”，其他條件不變，（1）中的結(jié)論還成立，理由為：根據(jù)∠ADC+∠ACD=β，∠ACD+∠BCE=β，等量代換得到∠ADC=∠BCE，再由∠DAC=∠CBE=β，CD=CE，利用AAS得到三角形ACD與三角形BCE全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AD=BC，AC=BE，由AB=AC+CB，等量代換即可得證．

解答：（1）證明：∵∠DAC=∠EBC=∠DCE=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠ADC=∠BCE，
在△ADC和△CBE中，

∠ADC=∠BCE ∠DAC=∠EBC DC=EC

，
∴△ADC≌△CBE（AAS），
∴AD=BC，AC=BE，
∴AB=AC+CB=AD+BE；
（2）將問(wèn)題中的條件“∠DCE=90°”改為“∠DCE=β”，其他條件不變，（1）中的結(jié)論還成立，理由為：
證明：∵∠DAC=∠EBC=∠DCE=β，
∴∠ADC+∠ACD=β，∠ACD+∠BCE=β，
∴∠ADC=∠BCE，
在△ADC和△CBE中，

∠ADC=∠BCE ∠DAC=∠EBC DC=EC

，
∴△ADC≌△CBE（AAS），
∴AD=BC，AC=BE，
∴AB=AC+CB=AD+BE．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．