【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,C是半圓O上的一點(diǎn),BD與過(guò)點(diǎn)C的直線互相垂直,垂足為點(diǎn)D,BD與半圓O交于點(diǎn)E,且BC平分DBA

(1)求證:CD是半圓O的切線.

(2)若DC=8,BE=4,求圓的直徑.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)4

【解析】

試題分析:(1)首先連接OC,由OB=OC,BC平分DBA,易證得OCBD,又由BDCD,即可證得結(jié)論;

(2)首先根據(jù)切割線定理求得BD,然后根據(jù)勾股定理求得BC,連接AC,通過(guò)證得ABC∽△CBD,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,求得AB.

(1)證明:連接OC,

OB=OC,

∴∠1=2,

BC平分DBA,

∴∠2=3,

∴∠1=3

OCBD,

BDCD

OCCD,

C是半圓O上的一點(diǎn),

CD與半圓O相切;

(2)連接AC,

CD是切線,

CD2=DEBD,

DC=8,BE=4,

設(shè)BD=x,則82=x(x﹣4),

解得x=2+2

BD=2,

∵∠BDC=90°,

BC2=CD2+BD2=64+(2+22,

AB是直徑,

∴∠ACB=90°=BDC,

∵∠BDC=ABC

∴△CDB∽△ACB,

AB==4

練習(xí)冊(cè)系列答案
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下面是一個(gè)案例,請(qǐng)補(bǔ)充完整.

原題:如圖1,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,EAF=45°,連接EF,則EF=BE+DF,試說(shuō)明理由.

(1)思路梳理

AB=AD

ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ADG,可使AB與AD重合

∵∠ADC=B=90°

∴∠FDG=180°,點(diǎn)F、D、G共線根據(jù)SAS,易證AFG ,從而可得EF=BE+DF.

(2)類(lèi)比引申

如圖2,四邊形ABCD中,AB=AD,BAD=90°,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,EAF=45°.若B、D都不是直角,則當(dāng)BD滿足等量關(guān)系 時(shí),仍有EF=BE+DF.

請(qǐng)寫(xiě)出推理過(guò)程:

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(1)求小麗步行的速度及學(xué)校與公交站臺(tái)乙之間的距離;

(2)當(dāng)8≤x≤15時(shí),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

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(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)D為直線AC上一點(diǎn),點(diǎn)E為拋物線上一點(diǎn),且D,E兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為2,點(diǎn)F為x軸上的點(diǎn),若四邊形ADEF是平行四邊形,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo);

(3)若點(diǎn)P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,交拋物線于點(diǎn)Q,連接AQ,CQ,求ACQ的面積的最大值.

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