Question

使得

a+1 - a

+

b+1 - b

+

c+1 - c

=1的一組正整數(shù)（a，b，c）為：

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn),二次根式有意義的條件

專(zhuān)題：開(kāi)放型

分析：由于三個(gè)復(fù)合二次根式的和為1，則它們的被開(kāi)方數(shù)為完全平方數(shù)，設(shè)任意一個(gè)復(fù)合二次根式的被開(kāi)方數(shù)為（

x

-

y

）²（x，y為正整數(shù)，x＞y），然后通過(guò)正整數(shù)的含義，得到x，y為兩個(gè)相鄰正整數(shù)，即每個(gè)復(fù)合二次根式化簡(jiǎn)后為兩個(gè)相鄰正整數(shù)的算術(shù)平方根．若第一個(gè)化簡(jiǎn)后是

2

-1，則第二個(gè)復(fù)合二次根式化簡(jiǎn)后必為

3

-

2

，第三個(gè)復(fù)合二次根式化簡(jiǎn)后必為

4

-

3

，最后求的a，b，c的值．

解答：解：因?yàn)閹讉�(gè)復(fù)合二次根式的和為1，則每個(gè)復(fù)合二次根式的被開(kāi)方數(shù)一定為完全平方數(shù)．設(shè)

a+1

-

a

=(

x

-

y

) 2=x+y-2

xy

，（x，y為正整數(shù)，x＞y），所以有

a+1

=x+y，-

a

=-2

xy

．
∴a+1=（x+y）²，a=4xy，
∴（x-y）²=1，即x-y=1．
則每個(gè)復(fù)合二次根式化簡(jiǎn)后為兩個(gè)相鄰正整數(shù)的算術(shù)平方根．
若第一個(gè)化簡(jiǎn)后為

2

-1，而

2

要消掉，則第二個(gè)復(fù)合二次根式化簡(jiǎn)后必為

3

-

2

，

3

要消掉，則第三個(gè)復(fù)合二次根式化簡(jiǎn)后必為

4

-

3

．最后正好為

4

-

1

=1．
所以

a+1

-

a

=（

2

-1）²=3-2

2

=3-

8

，則a=8，
同理得b=24，c=48．
故得到一組正整數(shù)（a，b，c）為：8，24，48．
故答案為8，24，48．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次根式的性質(zhì)和二次根式的化簡(jiǎn)：

a2

=|a|．