Question

【題目】如圖，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，0）和（0，3 ）．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿折線AO﹣OB﹣BA運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在AO，OB，BA上運(yùn)動(dòng)，速度分別為1，，2（長(zhǎng)度單位/秒）﹒一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以（長(zhǎng)度單位/秒）的速度向上平行移動(dòng)（即移動(dòng)過程中保持l∥x軸），且分別與OB，AB交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)﹒設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線l同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P沿折線AO﹣OB﹣BA運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，直線l和動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

請(qǐng)解答下列問題：

（1）過A，B兩點(diǎn)的直線解析式是　 　，∠BAO=　 　；

（2）當(dāng)t﹦4時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為　 　；當(dāng)t﹦　 　，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合；

（3）作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)P′．在運(yùn)動(dòng)過程中，若形成的四邊形PEP′F為菱形，則t的值是多少？

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+3；60°；（2）（0，）；；（3）.

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式，根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求得∠BAO的度數(shù)；

（2）根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線，以及點(diǎn)P在不同階段的運(yùn)動(dòng)速度，即可求得；

（3）分三種情況點(diǎn)P在線段OA上，在線段OB上，在線段AB上結(jié)合菱形的判定分別進(jìn)行討論即可得.

（1）設(shè)過A，B兩點(diǎn)的直線解析式是y=kx+b，則有

，

解得，，

∴直線AB解析式是y=﹣x+3，

∵∠B=30°，

∴∠BAO=90°-30°=60°，

故答案為：y=﹣x+；60°；

（2）當(dāng)t﹦4時(shí)，OP=（4﹣3）×=，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）；

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，（t﹣3）×=t，

解得，t=，

∴t=，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合；

故答案為：（0，）；；

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，過F作FG⊥x軸，G為垂足（如圖1）

∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°，

∴△EOP≌△FGP（SAS），

∴OP=PG，

又∵OE=FG=t，∠A=60°，

∴AG=FGtan60°=t；

而AP=t，

∴OP=3﹣t，PG=AP﹣AG=t，

由3﹣t=t，得t=；

當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，形成的是三角形，不存在菱形；

當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上時(shí)，

過P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分別為垂足（如圖2），則四邊形PMEH是矩形，

∴PM=EH．

∵四邊形PEP'F是菱形，

∴EH=FH．

∵OE=t，

∴BE=3﹣t，

∴EF=BEtan60°=3﹣，

∴MP=EH=EF=，又BP=2（t﹣6），

在Rt△BMP中，BPcos60°=MP

即2（t﹣6）=，

解得t=．