【題目】ABC中,∠ACB=90°,CB=6,AC=8,DAC上的一點,點EBD上一點.

1)如圖(1),若點DAB的垂直平分線上,求CD的長.

2)如圖(2),連接AE,若AE平分∠BACBE平分∠ABC,求點EAC的距離.

3)若點E到三角形兩邊的距離為1.5,求CD的長.(直接寫出答案)

【答案】122332

【解析】

(1)由垂直平分線的性質可得BD=AD,AE=BE=5,CD長為x,在中,由勾股定理列出方程即可解出CD的長;

(2)過點EEFAC于點F,EMAB于點MENBC于點N,由角平分線的性質可得EF=EM=EN,AE、BE、CE分割成三個三角形,利用面積關系= 可求出EF的長即為所求;

(3)根據(jù)題意可分三種情況討論:①當點EABBC的距離為1.5時,過點DDFAB于點F,設CDx,中利用勾股定理可列出方程,求出x;②當點ECBCA的距離為1.5時,過點EEMAC于點MENBC于點N,易知四邊形CMEN為正方形,可得CM=1.5,由EMBC,可得,進而得到,代入數(shù)據(jù)即可求出CD;③當點EABAC的距離為1.5時,過點EEMAB于點MENAC于點N,EFBC于點F,易知四邊形CNEF為矩形,根據(jù)面積關系= 可求EF的長度即為CN的長度,由ENBC,可得進而可得,代入數(shù)據(jù)即可求出CD的長度.

(1)如圖所示,設AB的垂直平分線為DE,垂足為E

∵∠ACB=90°,CB=6,AC=8,

AB==10

DE垂直平分AB,

BD=AD,AE=BE=AB=5,

CD=x,則AD=BD=8-x,在中,由勾股定理可得:

,

解得:

∴點DAB的垂直平分線上時,CD= ;

(2)如圖所示,過點EEFAC于點FEMAB于點M,ENBC于點N,連接CE,

AE平分∠BAC,EFAC,EMAB,

EF=EM,

BE平分∠ABC,EMAB,ENBC,

EM=EN,

EF=EM=EN,

EF=EM=EN=x,則:

=

即:×AC×BC= ×AC×EF+ ×AB×EM+ ×BC×EN,

6×8=8x+10x+6x,

解得:x=2,

∴點EAC的距離為2;

(3)根據(jù)題意可分三種情況:

①如圖所示,當點EABBC的距離為1.5時,此時點E在∠CBA的角平分線上,即BD平分∠CBA,過點DDFAB于點F,

BD平分∠CBA,DFAB,DCBC,

CD=DF,

又∵∠C=DFB=90°,BD=BD,

(HL),

BF=BC=6,

AF=4,

CD=x,DF=x,AD=8-x,中,由勾股定理可得:

,

解得:x=3,

∴當點EABBC的距離為1.5時,CD=3;

②如圖所示,當點ECBCA的距離為1.5時,此時點E在∠BCA的角平分線上,即CE平分∠BCA,過點EEMAC于點M,ENBC于點N,此時EM=EN=1.5,EMBC,

∵∠NCM=90°, EMAC,ENBC

∴四邊形CMEN為矩形,

EM=EN

∴矩形CMEN為正方形,

CM=1.5,

CD=x,DM=x-1.5

EMBC,

,

: ,

解得:x=2,

∴當點ECBCA的距離為1.5時,CD=2;

③如圖所示,當點EABAC的距離為1.5時,此時點E在∠BAC的角平分線上,即AE平分∠BAC,過點EEMAB于點M,ENAC于點N,EFBC于點F,此時EM=EN=1.5,四邊形CNEF為矩形,

=

×AC×BC= ×AC×EN+ ×AB×EM+ ×BC×EF,

6×8=8×1.5+10×1.5+6×EF,

解得:EF=,

∵四邊形CNEF為矩形,

CN= EF=,

CD=x,DN=x-,

ENBC,

,

:

解得:x=

∴當點EABAC的距離為1.5時,CD= .

綜上所述,若點E到三角形兩邊的距離為1.5,CD的長為32.

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