Question

如圖，已知在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC交于點D，與邊AC交于點E，過點D作DF⊥AC于F．

（1）求證：DF為⊙O的切線；

（2）若DE=，AB=，求AE的長．

Answer 1

（1）證明：連接AD，OD；

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

即AD⊥BC；

∵AB=AC，

∴BD=DC．

∵OA=OB，

∴OD∥AC．

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD．

∴∠ODF=∠DFA=90°，

∴DF為⊙O的切線．

（2）解：連接BE交OD于G；

∵AC=AB，AD⊥BC，ED=BD，

∴∠EAD=∠BAD．

∴．

∴ED=BD，OE=OB．

∴OD垂直平分EB．

∴EG=BG．

又AO=BO，

∴OG=AE．

在Rt△DGB和Rt△OGB中，

BD²﹣DG²=BO²﹣OG²

∴（）²﹣（﹣OG）²=BO²﹣OG²

解得：OG=．

∴AE=2OG=．