Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上沿AB方向作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段BC上沿BC方向作勻速運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為1厘米/秒．
（1）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為厘米/秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△DPQ的面積為S，請(qǐng)你求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)△DPQ的面積最小時(shí)，求BQ的長(zhǎng)；
（3）在（1）的條件下，當(dāng)△DAP和△PBQ相似時(shí)，求BQ的長(zhǎng)；
（4）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為a厘米/秒，問(wèn)是否存在a的值，使得△ADP與△PBQ和△DCQ這兩個(gè)三角形都相似？若存在，請(qǐng)求出a的值，并寫(xiě)出此時(shí)BQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）知道了P、Q的速度，那么可用時(shí)間來(lái)表示出AP、BQ的長(zhǎng)，也就表示出了BP、BQ的長(zhǎng)，也就有了△BPQ的直角邊的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式即可得出關(guān)于S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）可根據(jù)（1）的函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值；
（3）要分兩種情況進(jìn)行討論，
①當(dāng)∠ADP=∠BPQ時(shí)，AD，BP相對(duì)應(yīng)，AP，BQ相對(duì)應(yīng)，可以根據(jù)它們的比例關(guān)系求出此時(shí)t的值．進(jìn)而求出BQ的長(zhǎng)；
②當(dāng)∠APD=∠BPQ時(shí)，AD，BQ相對(duì)應(yīng)，AP，BP相對(duì)應(yīng)，按照①的方法求t的值即可．
（4）與（3）的方法相同，也是按對(duì)應(yīng)角的不同分成不同的狀況進(jìn)行討論，最后看看求出的結(jié)果是否符合要求．
解答：解：（1）根據(jù)題意，①S_△DPQ=S_矩形ABCD-S_△ADP-S_△PBQ-S_△DCQ
=60-×6t-×（10-t）•t-×10•（6-t）=t²-3t+30；

（2）S_△DPQ=t²-3t+30=，
當(dāng)t=6時(shí)，S_△DPQ最小，此時(shí)BQ=3；

（3）①如圖，當(dāng)∠DPA=∠QPB時(shí)，
，
∴，t²+12t-120=0，
解得：t=2-6，或t=-2-6（不合題意，舍去）
因此，當(dāng)t=2-6時(shí)，BQ=-3；
②如圖，當(dāng)∠DPA=∠PQB時(shí)，
，
∴，
解得：t=7，
因此，當(dāng)t=7時(shí)，即BQ=3.5時(shí)，△DAP和△PBQ相似；

（4）假設(shè)存在a的值，使△ADP與△PBQ和△DCQ這兩個(gè)三角形都相似，設(shè)此時(shí)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP=t，BQ=at．
①如圖，當(dāng)∠1=∠3=∠4時(shí)，，∴，t²+6t-60=0，
解得：t₁=2，t₂=18（舍去），
此時(shí)BQ=at=×2=．
②當(dāng)∠1=∠3=∠5時(shí)，∠DPQ=∠DQP=90°不成立；
③如圖，當(dāng)∠1=∠2=∠4時(shí)，，
∴，
即，將a消掉，可得5t²-36t+180=0，此方程無(wú)解，
④當(dāng)∠1=∠2=∠5時(shí)，∠1=∠PDC＞∠5，故不存在這樣的a值．
綜上所述，存在這樣的a值，△ADP與△PBQ和△DCQ這兩個(gè)三角形都相似，此時(shí)，BQ=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)以及矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，要注意后兩問(wèn)中，要分對(duì)應(yīng)角的不同來(lái)得出不同的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，從而得出運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值．不要忽略掉任何一種情況．