Question

某環(huán)形跑道上順時針排列有4所中學(xué)：A₁、A₂、A₃、A₄，它們順次有彩電15臺，8臺，5臺，12臺，為使各校的彩電數(shù)相同，允許一些中學(xué)向相鄰中學(xué)調(diào)出彩電，則滿足要求的調(diào)配方案中調(diào)出彩電臺數(shù)最少時的臺數(shù)為

10

臺．

Answer 1

分析：設(shè)A₁中學(xué)調(diào)出給A2中學(xué)X1臺，本例要求Y=|X₁|+|X₁-2|+|X₁-7|+|X₁-5|的最小值，當(dāng)2≤X₁≤5時，Y取值最小，調(diào)出彩電的最少總臺數(shù)為10，則共有4種調(diào)出方案．

解答：解：設(shè)A₁中學(xué)調(diào)給A₂中學(xué)x₁臺彩電（若x₁為負(fù)數(shù)，則認(rèn)為是A₂中學(xué)向A₁中學(xué)調(diào)出|x₁|臺彩電，以下同）
A₂中學(xué)調(diào)給A₃中學(xué)x₂臺彩電；A₃中學(xué)調(diào)給A₄中學(xué)x₃臺彩電；A₄中學(xué)調(diào)給A₁中學(xué)x₄臺彩電．?
∵彩電共有15+8+5+12=40臺，平均每校10臺
∴15-x₁+x₄=10，8-x₂+x₁=10，5-x₃+x₂=10，12-x₄+x₃=10∴x₄=x₁-5，x₁=x₂+2，x₂=x₃+5，x₃=x₄-2∴x₄=x₁-5，x₂=x₁-2，x₃=x₂-5=x₁-2-5=x₁-7
∵y=|x₁|+|x₂|+|x₃|+|x₄|=|x₁|+|x₁-2|+|x₁-7|+|x₁-5|的最小值．
其中x₁是滿足-8≤x₁≤15的整數(shù)．
設(shè)x₁=x，考慮定義在-8≤x≤15上的函數(shù)y=|x|+|x-2|+|x-7|+|x-5|．
∵|x|+|x-7|表示數(shù)x到0與7的距離之和，當(dāng)0≤x≤7時，|x|+|x-7|取得最小值7；
同理，當(dāng)2≤x≤5時，|x-2|+|x-5|取得最小值3，
故當(dāng)2≤x≤5時，y取最小值10，即當(dāng)x=2，3，4，5時，
|x₁|+|x₁-2|+|x₁-7|+|x₁-5|取最小值10．所以，調(diào)出彩電最少總臺數(shù)為10．

點評：本題考查了函數(shù)最值問題，是一道比較難的考題．