Question

10．已知，點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸上，K（2，2）是邊AB上的一點(diǎn)，CK⊥AB交x軸于C．
（1）如圖①，求OB+OC的值；
（2）如圖②，延長KC交y軸于D，求S_△ACK-S_△OCD的值；
（3）如圖③，點(diǎn)P為AK上任意一點(diǎn)（P不與A，K重合），過A作AE⊥DP于E，連EK，求∠DEK的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）如圖①，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，先證明四邊形OMKN為正方形得：OM=ON=2，再證明△KNB≌△KMC，則CM=BN，代入OB+OC中可得結(jié)論；
（2）如圖②，證明△AMK≌△DNK，則S_△AMK=S_△DNK，所以S_△ACK-S_△OCD拆成和與差的形式并等量代換得結(jié)果為4；
（3）如圖③，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△KDF≌△KAE，得KF=KE，∠DKF=∠AKE，再得△FKE是等腰直角三角形，所以∠DEK=45°．

解答 解：（1）如圖①，過K作KM⊥x軸，KN⊥y軸，垂足分別為M、N，
則∠KNO=∠KMO=90°，
∵∠BOA=90°，
∴四邊形OMKN是矩形，
∴∠NKM=90°，
∴∠NKC+∠CKM=90°，
∵K（2，2），
∴KM=KN=2，
∴矩形OMKN是正方形，
∴OM=ON=2，
∵CK⊥AB，
∴∠BKN+∠NKC=90°，
∴∠BKN=∠CKM，
∵∠KNB=∠CMK=90°，
∴△KNB≌△KMC，
∴CM=BN，
∴OB+OC=ON+BN+OC=ON+CM+OC=ON+OM=2+2=4；
（2）如圖2，∵∠AKC=∠MKN=90°，
∴∠AKM=∠NKD=90°-∠CKM，
∵∠KND=∠KMA=90°，KM=KN，
∴△AMK≌△DNK，
∴S_△AMK=S_△DNK，
∴S_△ACK-S_△OCD=S_△AMK+S_△CKM-S_△OCD，
=S_△DNK+S_△CKM-S_△OCD，
=S_{正方形OMKN}+S_△OCD-S_△OCD，
=2×2，
=4．
（3）由（2）得：△AMK≌△DNK，
∴AK=DK，
在DE上截取DF=AE，連接KF，
∵AE⊥EF，DK⊥AB，
∴∠DKP=∠AEP=90°，
∵∠KPD=∠EPA，
∴∠KDF=∠KAE，
∴△KDF≌△KAE，
∴KF=KE，∠DKF=∠AKE，
∵∠DKP=90°，
∴∠DKF+∠FKP=∠AKE+∠FKP=∠FKE=90°，
∴△FKE是等腰直角三角形，
∴∠DEK=45°．

點(diǎn)評 本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形、正方形、矩形的性質(zhì)和判定；以證明三角形全等為關(guān)鍵，利用全等三角形對應(yīng)邊相等和對應(yīng)角相等得出邊與角的關(guān)系；同時(shí)利用了全等三角形的面積也相等，在求解三角形面積的差時(shí)，利用三角形面積相等關(guān)系進(jìn)行變形并加減得出與正方形的面積相等，從而得出結(jié)論．