Question

正方形ABCD中，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，一條直角邊與邊BC交于點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合），另一條直角邊與邊CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．
（1）如圖①，求證：AE=AF；
（2）如圖②，此直角三角板有一個(gè)角是45°，它的斜邊MN與邊CD交于G，且點(diǎn)G是斜邊MN的中點(diǎn)，連接EG，求證：EG=BE+DG； 
（3）在（2）的條件下，如果

AB

GF

=

6

5

，那么點(diǎn)G是否一定是邊CD的中點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由正方形的性質(zhì)可以得出∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD，由直角三角形的性質(zhì)∠EAF=∠BAD=90°，就可以得出∠BAE=∠DAF，證明△ABE≌△ADF就可以得出結(jié)論；
（2）如圖2，連結(jié)AG，由且點(diǎn)G是斜邊MN的中點(diǎn)，△AMN是等腰直角三角形，就可以得出∠EAG=∠NAG=45°，就有∠EAB+∠DAG=45°，由△ABE≌△ADF可以得出∠BAE=∠DAF，AE=AF就可以得出△AGE≌AGF，從而得出結(jié)論；
（3）設(shè)AB=6k，GF=5k，BE=x，就可以得出CE=6k-x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，就有CG=CF-GF=k+x，由勾股定理就可以x的值而得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖①，∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD．
∵∠EAF=90°，
∴∠EAF=∠BAD，
∴∠EAF-∠EAD=∠BAD-∠EAD，
∴∠BAE=∠DAF．
在△ABE和△ADF中

∠B=∠ADF AB=AD ∠BAE=∠DAF

，
∴△ABE≌△ADF（ASA）
∴AE=AF；
（2）如圖②，連接AG，
∵∠MAN=90°，∠M=45°，
∴∠N=∠M=45°，
∴AM=AN．
∵點(diǎn)G是斜邊MN的中點(diǎn)，
∴∠EAG=∠NAG=45°．
∴∠EAB+∠DAG=45°．
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，
∴∠DAF+∠DAG=45°，
即∠GAF=45°，
∴∠EAG=∠FAG．
在△AGE和AGF中，

AE=AF ∠EAG=∠FAG AG=AG

，
∴△AGE≌AGF（SAS），
∴EG=GF．
∵GF=GD+DF，
∴GF=GD+BE，
∴EG=BE+DG；
（3）G不一定是邊CD的中點(diǎn)．
理由：設(shè)AB=6k，GF=5k，BE=x，
∴CE=6k-x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，
∴CG=CF-GF=k+x，
在Rt△ECG中，由勾股定理，得
（6k-x）²+（k+x）²=（5k）²，
解得：x₁=2k，x₂=3k，
∴CG=4k或3k．
∴點(diǎn)G不一定是邊CD的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．