Question

6．已知AB∥CD，AD∥BC，AC恰好是∠BAD的平分線，AE平分∠BAC交BC于E，AF平分∠CAD交CD于F，連EF，CG平分∠DCH，若∠EAC和∠AEF互余，求證：EF∥CG．

Answer 1

分析 令A(yù)C與EF的交點(diǎn)為M．由∠EAC和∠AEF互余結(jié)合角之間的關(guān)系可用得出∠CME=90°，再由“AB∥CD，AD∥BC”根據(jù)平行線的性質(zhì)得出“∠ACD=∠CAB，∠ACB=∠CAD”，根據(jù)角平分線的性質(zhì)通過(guò)角的計(jì)算得出∠ACG=90°，依據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”即可得出結(jié)論．

解答 證明：令A(yù)C與EF的交點(diǎn)為M．

∵∠EAC和∠AEF互余，
∴∠EAC+∠AEM=90°，∠AME=90°，
∴∠CME=90°．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ACD=∠CAB，∠ACB=∠CAD．
又∵AC恰好是∠BAD的平分線，CG平分∠DCH，
∴∠CAB=∠CAD，∠DCG=∠HCG，
∴∠ACD=∠ACB，∠DCG=∠HCG．
又∵∠ACD+∠ACB+∠DCG+∠HCG=180°，∠ACG=∠ACD+∠DCG，
∴∠ACG=90°=∠CME，
∴EF∥CG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的判定及性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是找出∠ACG=90°=∠CME．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，通過(guò)角的計(jì)算找出相等（或互補(bǔ)）的角是關(guān)鍵．