Question

9．教科書中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式a²+2ab+b²及a²-2ab+b²叫做完全平方式”，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．
例如：分解因式x²+2x-3=（x²+2x+1）-4=（x+1）²-4=（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1）；例如求代數(shù)式2x²+4x-6的最小值.2x²+4x-6=2（x²+2x-3）=2（x+1）²-8．可知當(dāng)x=-1時(shí)，2x²+4x-6有最小值，最小值是-8，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：
（1）分解因式：m²-4m-5=（m+1）（m-5）．
（2）當(dāng)a，b為何值時(shí)，多項(xiàng)式a²+b²-4a+6b+18有最小值，并求出這個(gè)最小值．
（3）當(dāng)a，b為何值時(shí)，多項(xiàng)式a²-2ab+2b²-2a-4b+27有最小值，并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)閱讀材料，先將m²-4m-5變形為m²-4m+4-9，再根據(jù)完全平方公式寫成（m-2）²-9，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法將多項(xiàng)式a²+b²-4a+6b+18轉(zhuǎn)化為（a-2）²+（b+3）²+5，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答；
（3）利用配方法將多項(xiàng)式a²-2ab+2b²-2a-4b+27轉(zhuǎn)化為（a-b-1）²+（b-3）²+17，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答．

解答 解：（1）m²-4m-5
=m²-4m+4-9
=（m-2）²-9
=（m-2+3）（m-2-3）
=（m+1）（m-5）．
故答案為（m+1）（m-5）；

（2）∵a²+b²-4a+6b+18=（a-2）²+（b+3）²+5，
∴當(dāng)a=2，b=-3時(shí)，多項(xiàng)式a²+b²-4a+6b+18有最小值5；

（3）∵a²-2ab+2b²-2a-4b+27
=a²-2a（b+1）+（b+1）²+（b-3）²+17
=（a-b-1）²+（b-3）²+17，
∴當(dāng)a=4，b=3時(shí)，多項(xiàng)式a²-2ab+2b²-2a-4b+27有最小值17．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了因式分解的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)要注意配方法的步驟．注意在變形的過程中不要改變式子的值．