Question

已知：拋物線y=ax²+bx+6與x軸交于A（1，0），B（3，0）．
（1）試確定拋物線的解析式及其頂點C的坐標；
（2）設拋物線的對稱軸與x軸的交點為D，y的正半軸上有一動點P，當△POA∽△ADC時，試確定P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）把A、B代入y=ax²+bx+6，即可求出拋物線解析式和頂點坐標；
（2）分兩種情況討論，①∠DAC=∠OAP，②∠DAC=∠OPA，利用相似三角形的性質求出OP，繼而得出點P的坐標．

解答：解：（1）把A（1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx+6得：

a+b+6=0 9a+3b+6=0

，
解得：

a=2 b=-8

，
則拋物線解析式為：y=2x²-8x+6，
頂點式為：y=-2x²-4x+6=2（x-2）²-2，
故頂點C的坐標是（2，-2）；

（2）①若∠DAC=∠OAP，此時△ACD∽△APO，

CD

PO

=

AD

AO

，即

2

PO

=

1

1

，
解得PO=2，
故此時點P的坐標為（0，2）；
②∠DAC=∠OPA，此時點P的位置在P'點上，此時△ACD∽△P'AO，

CD

AO

=

AD

P′O

，即

1

1

=

1

P′O

，
解得：P'O=1，
故此時點P'的坐標為（0，1）；
綜上可得點P的坐標為（0，2）或（0，1）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質，難點在第二問，關鍵是注意分類討論，避免漏解．