Question

平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)O是正三角形ABC外接圓的圓心，點(diǎn)A在軸的正半軸上，△ABC的邊長為6．以原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心將△ABC沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，得到△，點(diǎn)、、分別為點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)．

（1）當(dāng)=60時(shí)，
①請?jiān)趫D1中畫出△；
②若AB分別與、交于點(diǎn)D、E，則DE的長為_______；
（2）如圖2，當(dāng)⊥AB時(shí)，分別與AB、BC交于點(diǎn)F、G，則點(diǎn)的坐標(biāo)為         _____，△FBG的周長為_____，△ABC與△重疊部分的面積為_______．

Answer 1

（1）由旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)可畫出圖像，（2）DE="2" (3)A′(-,3) △FBG的周長6，重疊的面積27-9

解析試題分析：（1）∵在平面直角坐標(biāo)系XOY中，△ABC是⊙O的外接圓，經(jīng)中心O旋轉(zhuǎn)60°后，得到△A′B′C′把⊙0平均分成了六份，六個(gè)頂點(diǎn)能構(gòu)成內(nèi)接正六邊形∴各邊的交點(diǎn)又構(gòu)成小的正六邊形，∴AB與A′B′的交點(diǎn)為三等份的點(diǎn)，從而得到DE=×6=2，（2）∵點(diǎn)O是三角形四心重合的點(diǎn)，AB⊥A’B’.可得A’B’ ⊥x軸，在△ABC中可易求OA=2�！郞A’=2由O,A’與x 軸組成的三角形是特殊的三角形，即30°,60°90°∴A’(-,3) ∵BF=A’F, ∴△FBG的周長="AB的邊長=6." （3）設(shè)BG為x,則FG為x,BF為2x. ∴x+x+2x="6" ∴x=(3-)∴ △ABC的面積-三倍△BFG的面積=重疊的面積=×6×3-×3×（3-）×（3-）=27-9.解：（1）①如圖所示.

……………………………………1分
②DE的長為 2 ；  ………………………………2分
（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，△FBG的周長為  6 ，
△ABC與△重疊部分的面積為．
…………………………………5分
閱卷說明：第（2）問每空1分.
考點(diǎn)：等邊三角形的內(nèi)心定義，旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)，三角形外接圓的性質(zhì)，及直角三角形的性質(zhì)。
點(diǎn)評：本題有一定的難度，關(guān)鍵熟悉幾個(gè)公式的應(yīng)用，由于圓心就是三角形的內(nèi)心，從而得到特殊角的度數(shù)在Rt三角形中，30°所對的直角邊是斜邊的一半，列出方程求出邊長，再有重疊的面積=三角形的面-三個(gè)全等的小三角形的面積。注意的是，旋轉(zhuǎn)后得到六個(gè)全等的三角形。中檔題，有一定的難度，計(jì)算量較大易出錯(cuò)。