Question

已知，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC=20，tanB=

1

3

，AD平分∠CAB，交BC邊于點(diǎn)D，那么BD=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專(zhuān)題：

分析：延長(zhǎng)BA到E，使AE=AC，連接CE，得到等腰直角三角形ACE，則∠E=∠BAD=45°，CE∥AD，再根據(jù)和平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得出CD：BD=AC：AB，結(jié)合三角函數(shù)的定義得出CD：DB=1：3，然后由BC=20即可求解．

解答：解：如圖，延長(zhǎng)BA到E，使AE=AC，連接CE，則∠E=∠ECA=45°．
∵∠CAD=∠BAD=45°，
∴∠E=∠BAD=45°，
∴CE∥AD，
∴△ABD∽△EBC，
∴CD：BD=AE：AB，
∵AC=AE，
∴CD：BD=AC：AB，
∵AC：AB=tanB=

1

3

，
∴CD：DB=1：3，即DB=3CD，
∵DB+CD=BC=20，
∴CD=5，BD=15．
故答案為：15．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，三角函數(shù)，通過(guò)作輔助線(xiàn)，得到CE∥AD，構(gòu)造比例線(xiàn)段進(jìn)行轉(zhuǎn)換，考查了靈活運(yùn)用知識(shí)的能力．