Question

菱形與正方形的形狀有差異，我們將菱形與正方形的接近程度記為“接近度”．設(shè)菱形相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為m°和n°，將菱形與正方形的“接近度”定義為|m-n|．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²+

3

bx+c（b＜0）交y軸于點(diǎn)A（與原點(diǎn)O不同），以AO為邊作菱形OAPQ．
（1）當(dāng)c=-

3

b時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使菱形OAPQ與正方形的“接近度”為0，請(qǐng)說明理由．
（2）當(dāng)c＞0時(shí)，對(duì)于任意的b，拋物線y=x²+

3

bx+c上是否存在點(diǎn)P，滿足菱形OAPQ與正方形的“接近度”為60？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的b與c的關(guān)系式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)正方形的四條邊都相等且每一個(gè)角都是直角取點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（2）根據(jù)“接近度”的定義求出m、n的值，然后分點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，∠OAP=120°和∠OAP=60°兩種情況求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再代入拋物線解析式求出b、c的關(guān)系式，然后根據(jù)b＜0求出c的取值范圍，進(jìn)行驗(yàn)證即可；點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，只有∠OAP=120°，表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再代入拋物線解析式得到b、c的關(guān)系式，然后根據(jù)b＜0求出c的取值范圍，再進(jìn)行驗(yàn)證．

解答：（1）解：（1）存在．
當(dāng)c=-

3

b時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-

3

b），
取P（-

3

b，-

3

b），
當(dāng)x=-

3

b時(shí)，y=（-

3

b）²+

3

b×（-

3

b）-

3

b=-

3

b，
故點(diǎn)P在拋物線上，且OA=AP，OA⊥P，
∴m=n=90，
∴拋物線上存在點(diǎn)P，使菱形OAPQ與正方形的“接近度”為0；

（2）解：∵菱形OAPQ與正方形的“接近度”為60，
∴|m-n|=60，
又∵m+n=180，
∴m=120，n=60或m=60，n=120，
當(dāng)P在y軸右側(cè)時(shí)：①當(dāng)∠OAP=120°時(shí)，P₁（

3

2

c，

3

2

c）且在y=x²+

3

bx+c上，
∴（

3

2

c）²+

3

b×

3

2

c+c=

3

2

c，
∴b=

1

3

-

1

2

c，
∵b＜0，
∴

1

3

-

1

2

c＜0，
解得c＞

2

3

，
即當(dāng)c＞

2

3

時(shí)，b與c的關(guān)系式為b=

1

3

-

1

2

c；
②當(dāng)∠OAP=60°時(shí)，P₂（

3

2

c，

1

2

c），且在y=x²+

3

bx+c上，
∴（

3

2

c）²+

3

b×

3

2

c+c=

1

2

c，
∴b=-

1

3

-

1

2

c，
∵b＜0，
∴-

1

3

-

1

2

c＜0，
解得c＞-

2

3

，
舉例：當(dāng)b=-

1

6

時(shí)，c=-

1

3

＜0，不滿足對(duì)任意b，c＞0，不符合題意；
當(dāng)P在y軸左側(cè)時(shí)：只可能存在∠OAP=120°，P₃（-

3

2

c，

3

2

c）且在y=x²+

3

bx+c上，
∴（-

3

2

c）²+

3

b×（-

3

2

c）+c=

3

2

c，
∴b=

1

2

c-

1

3

，
∵b＜0，
∴

1

2

c-

1

3

＜0，
解得c＜

2

3

，
舉例：當(dāng)b=-1時(shí)，c=-

4

3

，不滿足對(duì)任意b，c＞0，不符合題意；
綜上所述，b與c的關(guān)系式為b=

1

3

-

1

2

c．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，難點(diǎn)在于（2）分情況討論并根據(jù)b是負(fù)數(shù)求出c必須是正數(shù)關(guān)系式才成立．