Question

13．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（-4，4），點B的坐標(biāo)為（0，2）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）以點A為直角頂點作∠CAD=90°，射線AC交x軸的負半軸于點C，射線AD交y軸的負半軸于點D．當(dāng)∠CAD繞著點A旋轉(zhuǎn)時，OC-OD的值是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值；若變化，求出它的變化范圍；
（3）如圖2，點M（-4，0）是x軸上的一個點，點P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點．若A、B、M、P四點能構(gòu)成平行四邊形，請寫出滿足條件的所有點P的坐標(biāo)（不要解題過程）．

Answer 1

分析 （1）由A、B兩點的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式；
（2）過A分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為E、F，可證明△AEC≌△AFD，可得到EC=FD，從而可把OC-OD轉(zhuǎn)化為FD-OD，再利用線段的和差可求得OC-OD=OE+OF=8；
（3）可分別求得AM、BM和AB的長，再分AM為對角線、AB為對角線和BM為對角線，分別利用平行四邊形的對邊平行且相等可求得P點坐標(biāo)．

解答 解：
（1）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b（k≠0）．
∵點A（-4，4），點B（0，2）在直線AB上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=4}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+2；
（2）不變．
理由如下：
過點A分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，如圖1．

則∠AEC=∠AFD=90°，
又∵∠BOC=90°，
∴∠EAF=90°，
∴∠DAE+∠DAF=90°，
∵∠CAD=90°，
∴∠DAE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠DAF．
∵A（-4，4），
∴OE=AF=AE=OF=4．
在△AEC和△AFD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠AFD}\\{AE=AF}\\{∠CAE=∠DAF}\end{array}\right.$
∴△AEC≌△AFD（ASA），
∴EC=FD．
∴OC-OD=（OE+EC）-（FD-OF）=OE+OF=8．
故OC-OD的值不發(fā)生變化，值為8；
（3）∵A（-4，4），B（0，2），M（-4，0），
∴AM=4，BM=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{（-4）^{2}+（4-2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
①當(dāng)AM為對角線時，連接BP交AM于點H，連接PA、PM，如圖2，

∵四邊形ABMP為平行四邊形，且AB=BM，
∴四邊形ABMP為菱形，
∴PB⊥AM，且AH=HM，PH=HB，
∴P點坐標(biāo)為（-8，2）；
②當(dāng)BM為對角線時，
∵AM⊥x軸，
∴BC在y軸的負半軸上，
∵四邊形ABPM為平行四邊形，
∴BP=AM=4，
∴P點坐標(biāo)為（0，-2）；
③當(dāng)AB為對角線時，同②可求得P點坐標(biāo)為（0，6）；
綜上可知滿足條件的所有點P的坐標(biāo)為（0，6）、（0，-2）和（-8，2）．

點評 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點有待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)及分類討論思想等．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟，在（2）中構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出P點的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．