Question

設(shè)直線nx+（n+1）y=

2

（n為自然數(shù)）與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為S_n（n=1，2，…2014），則S₁+S₂+…+S₂₀₁₄的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：規(guī)律型

分析：依次求出S₁、S₂、S_n，就發(fā)現(xiàn)規(guī)律：S_n=

1

2

×

1

n(n+1)

，然后求其和即可求得答案．注意

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．

解答：解：∵直線nx+（n+1）y=

2

，
∴y=-

n

n+1

x+

1

n+1

，
當(dāng)n=1時(shí)，直線為y=-

1

2

x+

1

2

，
∴直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，

1

2

），（1，0），
∴S₁=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

；
當(dāng)n=2時(shí)，直線為y=-

2

3

x+

1

3

，
∴直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，

1

3

），（

1

2

，0），
∴S₂=

1

2

×

1

2

×

1

3

=

1

2

×

1

2×(2+1)

；
當(dāng)n=3時(shí)，直線為y=-

3

4

x+

1

4

，
∴直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，

1

4

），（

1

3

，0），
∴S₃=

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

2

×

1

3×(3+1)

；
…，
Sn=

1

2

×

1

n(n+1)

，
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₄=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2014

-

1

2015

）=

1

2

×（1-

1

2015

）=

2014

2×2015

=

2014

4030

．
故答案為：

2014

4030

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．