Question

5．如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點M，矩形MNPQ與矩形ABCD全等，射線MN與MQ分別交BC邊于E、F兩點，若AB=2，求證：$\frac{1}{M{E}^{2}}$+$\frac{1}{M{F}^{2}}$=1．

Answer 1

分析 $\frac{1}{M{E}^{2}}$+$\frac{1}{M{F}^{2}}$=1等價于$\frac{M{E}^{2}+M{F}^{2}}{M{E}^{2}•M{F}^{2}}$，而EM²+FM²=EF²，從而等價于$\frac{E{F}^{2}}{M{E}^{2}•M{F}^{2}}$，注意到∠EMF為直角，于是作MG⊥BC于G，則EM•FM=EF•EG，進而
EM²•FM²=EF²•EG²，而EG=$\frac{1}{2}$AB=1，結(jié)論水落石出．

解答 證明：過點M作MG⊥BC于G，如圖，

∵ABCD是于矩形，AC交BD于M，
∴M是AC和BD的中點，
∴MG=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵MNPQ為矩形，
∴∠EMF=90°，
∴EM•FM=EF•EG，
∴EM²•FM²=EF²•EG²，
∵EM²+FM²=EF²，
∴$\frac{1}{E{M}^{2}}+\frac{1}{F{M}^{2}}=\frac{E{M}^{2}+F{M}^{2}}{E{M}^{2}•F{M}^{2}}=\frac{E{F}^{2}}{E{M}^{2}•F{M}^{2}}$=$\frac{E{F}^{2}}{E{F}^{2}•E{G}^{2}}=\frac{1}{E{G}^{2}}=1$．

點評 本題主要考查了矩形的基本性質(zhì)、勾股定理、中位線、等積變換等知識點，難度較大，是一道幾何妙題．從結(jié)論出發(fā)結(jié)合條件不斷地進行等價變形是解決本題的難度點和關(guān)鍵所在．