Question

3．已知：關(guān)于x的一元二次方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0（m＞3）．
（1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x₁，x₂，且x₁＜x₂；
①求方程的兩個實數(shù)根x₁，x₂（用含m的代數(shù)式表示）；
②若mx₁＜8-4x₂，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由于m＞3，此方程為關(guān)于x的一元二次方程，再計算出判別式△=（m-3）²，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；
（2）②由求根公式得到x=1，或x=$\frac{2m-3}{m}$，即可得到結(jié)論；②根據(jù)mx₁＜8-4x₂，即可得到 結(jié)果．

解答 （1）證明：∵mx²-3（m-1）x+2m-3=0（m＞3）是關(guān)于x的一元二次方程，
∴△=[（-3（m-1）]²-4m（2m-3）=m²-6m+9=（m-3）²，
∵m＞3，
∴（m-3）²＞0，即△＞0，
∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）①由求根公式得x=$\frac{3（m-1）±（m-3）}{2m}$，
∴x=1，或x=$\frac{2m-3}{m}$，
當(dāng)x₁=1，x₂=2-$\frac{3}{m}$，
則mx₁＜8-4x₂，
即m＜8-8+$\frac{12}{m}$，
∴3＜m＜2√3
當(dāng)x₁=2-$\frac{3}{m}$，x₂=1，
則2m-3＜4，
∴3＜m＜$\frac{7}{2}$
綜上所述，3＜m＜$\frac{7}{2}$．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．