Question

【題目】已知拋物線：y＝x2+bx+c

（1）若拋物線過點(diǎn)（2，﹣3），（4，5），求b、c．

（2）若拋物線過（﹣1，m2﹣m），（2，m2+2m），且﹣5≤m≤﹣3，求在m的變化過程中，拋物線最低點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）直線y＝2x+n與拋物線y＝x2+bx+c交于A（﹣5，yA），B（﹣3，yB），把y＝x2+bx+c向右平移t個(gè)單位（t＞0）后交直線y＝2x+n于C、D兩點(diǎn)，若CD＝2AB，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（2，3）；（3）t．

【解析】

（1）將點(diǎn)（2，﹣3），（4，5）代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（2）同理可得：y＝x2+（m﹣1）x+（m2﹣2），函數(shù)的對(duì)稱軸為：x，函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最小值，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），即可求解；

（3）將直線y＝2x+n與拋物線y＝x2+bx+c聯(lián)立并整理得：x2+（b﹣2）x+（c﹣n）＝0，求出b＝10，c﹣n＝15；同理：由x2+（b﹣2）x+（c﹣2t﹣n）＝0，即x2+8x+（15﹣2t）＝0，

則x1+x2＝﹣8，x1x2＝15﹣2t，CD＝2AB，x2﹣x1＝2×（﹣3+5）＝4，即可求解．

解：（1）將點(diǎn)（2，﹣3），（4，5）代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，

故函數(shù)的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3…①；

（2）將（﹣1，m2﹣m），（2，m2+2m）代入二次函數(shù)表達(dá)式，

同理可得：y＝x2+（m﹣1）x+（m2﹣2），函數(shù)的對(duì)稱軸為：x，

函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最小值，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），

當(dāng)﹣5≤m≤﹣3時(shí)，

設(shè)S，該函數(shù)的對(duì)稱軸為m，

故函數(shù)S在m＝﹣3時(shí)取得最小值，即m＝﹣3，

則最低點(diǎn)即函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）；

（3）將直線y＝2x+n與拋物線y＝x2+bx+c聯(lián)立并整理得：

x2+（b﹣2）x+（c﹣n）＝0，

由韋達(dá)定理得：（﹣3）+（﹣5）＝2﹣b，（﹣3）（﹣5）＝c﹣n，

解得：b＝10，c﹣n＝15；

將直線向左平移t個(gè)單位后于拋物線交點(diǎn)的情況和題設(shè)中平移的方式交點(diǎn)情況應(yīng)該相同，

即設(shè)拋物線不動(dòng)、直線向左平移t個(gè)單位交點(diǎn)于點(diǎn)C′、D′和上述平移的C、D交點(diǎn)情況相同，

直線向左平移t個(gè)單位后的表達(dá)式為：y＝2（x+t）+n…②，

聯(lián)立①②并整理得：x2+（b﹣2）x+（c﹣2t﹣n）＝0，即x2+8x+（15﹣2t）＝0，

則x1+x2＝﹣8，x1x2＝15﹣2t，

∵CD＝2AB，∴x2﹣x1＝2×（﹣3+5）＝4，

解得：t．