Question

如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD邊上一點(diǎn)，且∠EBF=45°，則tan∠EFB的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,銳角三角函數(shù)的定義

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)得BA=BC，∠ABC=90°，則可把△BAE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCG，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BCG=∠BAE=90°，∠EBG=∠ABC=90°，AE=CG，所以點(diǎn)G、C、F共線，再利用“SAS”證明△BEF≌△BGF，得到∠EFB=∠GFB，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，CF=x，則AE=DE=a，CG=AE=a，DF=2a-x，EF=FG=x+a，在Rt△DEF中，利用勾股定理得到a²+（2a-x）²=（x+a）²，解得x=

2

3

a，然后在Rt△BCF中，根據(jù)正切的定義得tan∠FBC=

BC

FC

=3，即tan∠EFB的值為3．

解答：解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
把△BAE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCG，如圖，
∴∠BCG=∠BAE=90°，∠EBG=∠ABC=90°，AE=CG，
∴點(diǎn)G、C、F共線，
∵∠EBF=45°，
∴∠GBF=45°，BG=BE，
在△BEF和△BGF中，

BF=BF ∠EBF=∠GBF BE=BG

，
∴△BEF≌△BGF（SAS），
∴∠EFB=∠GFB，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，CF=x，則AE=DE=a，CG=AE=a，DF=2a-x，EF=FG=x+a，
在Rt△DEF中，∵DE²+DF²=EF²，
∴a²+（2a-x）²=（x+a）²，
解得x=

2

3

a，
在Rt△BCF中，
tan∠FBC=

BC

FC

=

2a

2 3 a

=3，
∴tan∠EFB=3．
故答案為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義．