Question

13．如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的頂點A在y軸上，頂點D，F(xiàn)在x軸上，點C在DE邊上，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象經(jīng)過點B、C和邊EF的中點M．若S_{正方形ABCD}=2，則正方形DEFG的面積為（　�。�

• A． $\frac{10}{3}$
• B． $\frac{32}{9}$
• C． 4
• D． $\frac{15}{4}$

Answer 1

分析 作BH⊥y軸于B，連結(jié)EG交x軸于P，如圖，利用正方形DEFG的頂點D、F在x軸上，點C在DE邊上，則∠EDF=45°，于是可判斷△AOD和△ABH都是等腰直角三角形，再根據(jù)正方形面積公式得到AB=AD=$\sqrt{2}$，所以O(shè)D=OA=AH=BH=$\frac{1}{\sqrt{2}}$×$\sqrt{2}$=1，則B點坐標(biāo)為（1，2），接著根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出k得到反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{2}{x}$，設(shè)DN=a，則EN=NF=a，根據(jù)正方形的性質(zhì)易得E（a+1，a），F(xiàn)（2a+1，0），然后利用線段中點坐標(biāo)公式得到M點的坐標(biāo)為（$\frac{3a+2}{2}$，$\frac{a}{2}$），再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征$\frac{3a+2}{2}$•$\frac{a}{2}$=2，接著解方程求出a的值，最后計算正方形DEFG的面積．

解答 解：作BH⊥y軸于B，連結(jié)EG交x軸于P，如圖，
∵正方形ABCD和正方形DEFG的頂點A在y軸上，頂點D、F在x軸上，點C在DE邊上，
∴∠EDF=45°，
∴∠ADO=45°，
∴∠DAO=∠BAH=45°，
∴△AOD和△ABH都是等腰直角三角形，
∵S_{正方形ABCD}=2，
∴AB=AD=$\sqrt{2}$，
∴OD=OA=AH=BH=$\frac{1}{\sqrt{2}}$×$\sqrt{2}$=1，
∴B點坐標(biāo)為（1，2），
把B（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$得k=1×2=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{2}{x}$，
設(shè)DN=a，則EN=NF=a，
∴E（a+1，a），F(xiàn)（2a+1，0），
∵M(jìn)點為EF的中點，
∴M點的坐標(biāo)為（$\frac{3a+2}{2}$，$\frac{a}{2}$），
∵點M在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上，
∴$\frac{3a+2}{2}$•$\frac{a}{2}$=2，
整理得3a²+2a-8=0，解得a₁=$\frac{4}{3}$，a₂=-2（舍去），
∴正方形DEFG的面積=2•$\frac{1}{2}$EN•DF=2•$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{3}$•$\frac{8}{3}$=$\frac{32}{9}$．
故選B．

點評 本題考查了反比例函數(shù)綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和正方形的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住線段中點的坐標(biāo)公式；會解一元二次方程．