【題目】如圖甲,在△ABC中,∠ACB為銳角.點D為射線BC上一動點,連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作等腰直角三角形ADE,AD=AE,∠DAE=90.解答下列問題:

(1) 如果AB=AC,∠BAC=90.

①當點D在線段BC上時(與點B不重合),如圖乙,線段CE、BD之間的位置關(guān)系為,數(shù)量關(guān)系為.(不用證明)

②當點D在線段BC的延長線上時,如圖丙,①中的結(jié)論是否仍然成立,為什么?

(2) 如果AB≠AC,∠BAC≠90,點D在線段BC上運動.

試探究:當△ABC滿足一個什么條件時,CE⊥BD(點C、E重合除外)?畫出相應(yīng)的圖形,并說明理由.

【答案】見解析

【解析】試題分析:1①根據(jù)∠BAD=CAE,BA=CA,AD=AE,運用“SAS”證明ABD≌△ACE,根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等,即可得到線段CE、BD之間的關(guān)系;②先根據(jù)“SAS”證明ABD≌△ACE,再根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等,即可得到①中的結(jié)論仍然成立;

2)先過點AAGACBC于點G,畫出符合要求的圖形,再結(jié)合圖形判定GAD≌△CAE,得出對應(yīng)角相等,即可得出結(jié)論.

試題解析:(1CEBD位置關(guān)系是CEBD,數(shù)量關(guān)系是CE=BD.

理由:如圖乙,

∵∠BAD=90°DAC,CAE=90°DAC,

∴∠BAD=CAE.

BA=CA,AD=AE,

ABDACE(SAS)

∴∠ACE=B=45°CE=BD.

∵∠ACB=B=45°,

∴∠ECB=45°+45°=90°,即CEBD.

故答案為:CEBD;CE=BD.

②當點DBC的延長線上時,①的結(jié)論仍成立.

如圖丙,

∵∠DAE=90°,BAC=90°,

∴∠DAE=BAC,

∴∠DAB=EAC

AB=AC,AD=AE,

DABEAC

CE=BD,且∠ACE=ABD.

∵∠BAC=90°,AB=AC,

∴∠ABC=45°

∴∠ACE=45°,

∴∠BCE=ACB+ACE=90°

CEBD;

2)如圖丁所示,當∠BCA=45°,CEBD.

理由:過點AAGACBC于點G,

AC=AG,AGC=45°,

ACG是等腰直角三角形,

∵∠GAD+DAC=90°=CAE+DAC,

∴∠GAD=CAE,

又∵DA=EA,

GADCAE

∴∠ACE=AGD=45°,

∴∠BCE=ACB+ACE=90°

CEBD.

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