Question

【題目】已知拋物線C：y=ax2+bx+c（a＜0）過原點，與x軸的另一個交點為B（4，0），A為拋物線C的頂點．
（1）如圖1，若∠AOB=60°，求拋物線C的解析式；
（2）如圖2，若直線OA的解析式為y=x，將拋物線C繞原點O旋轉180°得到拋物線C′，求拋物線C、C′的解析式；
（3）在（2）的條件下，設A′為拋物線C′的頂點，求拋物線C或C′上使得PB=PA′的點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接AB．

∵A點是拋物線C的頂點，且拋物線C交x軸于O、B，

∴AO=AB，

又∵∠AOB=60°，

∴△ABO是等邊三角形，

過A作AD⊥x軸于D，在Rt△OAD中，

∴OD=2，AD= ，

∴頂點A的坐標為（2， ）

設拋物線C的解析式為 （a≠0），

將O（0，0）的坐標代入，

求得：a=- ，

∴拋物線C的解析式為

（2）解：過A作AE⊥OB于E，

∵拋物線C：y=ax2+bx+c（a＜0）過原點和B（4，0），頂點為A，

∴OE= OB=2，

又∵直線OA的解析式為y=x，

∴AE=OE=2，

∴點A的坐標為（2，2），

將A、B、O的坐標代入y=ax2+bx+c（a＜0）中，

∴a=- ，

∴拋物線C的解析式為 ，

又∵拋物線C、C′關于原點對稱，

∴拋物線C′的解析式為

（3）解：作A′B的垂直平分線l，分別交A′B、x軸于M、N（n，0），

由前可知，拋物線C′的頂點為A′（﹣2，﹣2），

故A′B的中點M的坐標為（1，﹣1）．

作MH⊥x軸于H，

∴△MHN∽△BHM，則MH2=HNHB，即12=（1﹣n）（4﹣1），

∴ ，即N點的坐標為（ ，0）．

∵直線l過點M（1，﹣1）、N（ ，0），

∴直線l的解析式為y=﹣3x+2，

，解得 ．

∴在拋物線C上存在兩點使得PB=PA'，其坐標分別為

P1（ ， ），P2（ ， ）；

解 得， ．

∴在拋物線C′上也存在兩點使得PB=PA'，其坐標分別為

P3（﹣5+ ，17﹣3 ），P4（﹣5﹣ ，17+3 ）．

∴點P的坐標是：P1（ ， ），P2（ ， ），P3（﹣5+ ，17﹣3 ），P4（﹣5﹣ ，17+3 ）．

【解析】（1）先連接AB，根據A點是拋物線C的頂點，且C交x軸于O、B，得出AO=AB，再根據∠AOB=60°，得出△ABO是等邊三角形，再過A作AE⊥x軸于E，在Rt△OAE中，求出OD、AE的值，即可求出頂點A的坐標，最后設拋物線C的解析式，求出a的值，從而得出拋物線C的解析式；（2）先過A作AE⊥OB于E，根據題意得出OE= OB=2，再根據直線OA的解析式為y=x，得出AE=OE=2，求出點A的坐標，再將A、B、O的坐標代入y=ax2+bx+c（a＜0）中，求出a的值，得出拋物線C的解析式，再根據拋物線C、C′關于原點對稱，從而得出拋物線C′的解析式；（3）先作A′B的垂直平分線l，分別交A′B、x軸于M、N（n，0），由（2）知，拋物線C′的頂點為A′（﹣2，﹣2），得出A′B的中點M的坐標，再作MH⊥x軸于H，得出△MHN∽△BHM，則MH2=HNHB，求出N點的坐標，再根據直線l過點M（1，﹣1）、N（ ，0），得出直線l的解析式，求出x的值，再根據拋物線C上存在兩點使得PB=PA'，從而得出P1 ， P2坐標，再根據拋物線C′上也存在兩點使得PB=PA'，得出P3 ， P4的坐標，即可求出答案．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質和旋轉的性質的相關知識點，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了才能正確解答此題．