如圖①，拋物線y=ax2+bx+5交x軸于A、B，交y軸于C，拋物線的頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，OA•OC=OB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖②，若P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，PQ∥y軸交直線l：y=
34
x+9于點(diǎn)Q，以PQ為對(duì)角線作矩形且使得矩形的一邊在直線l上，問(wèn)是否存在這樣一點(diǎn)P使得矩形的面積最小？若存在，求其最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由
（3）如圖③，將直線向下平移m個(gè)單位（m＞9），設(shè)平移后的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N左邊），M關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為M′，連接M′N，問(wèn)M′N在x軸上的正投影是否為定值？若為定值，求其值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．
分析：（1）根據(jù)拋物線求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5），從而得到OC的長(zhǎng)度是5，然后得到點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的5倍，再根據(jù)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)列式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）根據(jù)直線l的解析式表示出矩形的長(zhǎng)與寬與PQ的關(guān)系，然后表示出矩形的面積，再根據(jù)直線與拋物線的解析式表示出PQ，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題求出PQ，再代入進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（3）先表示出M′N在x軸上的正投影，再根據(jù)向下平移縱坐標(biāo)減表示出平移后的直線解析式，然后與拋物線聯(lián)立，消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示出點(diǎn)M′的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)正投影的定義，表示出點(diǎn)M′N的橫坐標(biāo)的差值即可得解．
解答：解：（1）令x=0，則y=5，
所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5），OC=5，
∵OA•OC=OB，
∴5OA=OB，
∴-5xA=xB，①
∵拋物線的頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，
∴
xA+xB
2
=4，②
①、②聯(lián)立解得，xA=-2，xB=10，
∴點(diǎn)A（-2，0），B（10，0），
∵拋物線y=ax2+bx+5交x軸于A、B，
∴
4a-2b+5=0
100a+10b+5=0
，
解得
a=-
1
4
b=2
，
所以，拋物線解析式為y=-
1
4
x2+2x+5；

（2）∵以PQ為對(duì)角線的矩形的一邊在直線l：y=
3
4
x+9上，
32+42
=5，
∴矩形的長(zhǎng)、寬分別為
4
5
PQ，
3
5
PQ，
∴矩形的面積為
4
5
PQ•
3
5
PQ=
12
25
PQ2，
∵點(diǎn)P在拋物線y=-
1
4
x2+2x+5上，點(diǎn)Q在直線y=
3
4
x+9上，
∴PQ=xQ-xP=
3
4
x+9-（-
1
4
x2+2x+5）=
1
4
x2-
5
4
x+4=
1
4
（x2-5x+
25
4
）-
25
16
+4=
1
4
（x-
5
2
）2+
39
16
，
∴當(dāng)x=
5
2
時(shí)，PQ有最小值為
39
16
，
故矩形面積的最小值為
12
25
×（
39
16
）2=
4563
1600
；

（3）是定值5．
理由如下：設(shè)M′N在x軸上的正投影為EF，則EF等于點(diǎn)N的橫坐標(biāo)減去點(diǎn)M′的橫坐標(biāo)，
∵直線y=
3
4
x+9向下平移m個(gè)單位，
∴平移后的直線解析式為y=
3
4
x+9-m，
聯(lián)立
y=
3
4
x+9-m
y=-
1
4
x2+2x+5
，
消掉y得，
1
4
x2-
5
4
x+4-m=0，
∵點(diǎn)M與點(diǎn)M′關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴點(diǎn)M′的橫坐標(biāo)與點(diǎn)M的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，
∴EF=-
-
5
4
1
4
=5，是定值．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，矩形的面積，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)，根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，（1）求出點(diǎn)A、B的關(guān)系式，（2）根據(jù)直線用PQ表示出矩形的長(zhǎng)與寬，（3）根據(jù)點(diǎn)M、M′的橫坐標(biāo)的關(guān)系利用根與系數(shù)的關(guān)系判斷是解題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知二次函數(shù)的圖象是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（3，0），E（0，6）三點(diǎn)的一條拋物線．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為C，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，在y軸正半軸上有一點(diǎn)P，且以A、O、P為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

精英家教網(wǎng)閱讀材料：如圖1，過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫△ABC的“鉛垂高”（h）．我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：S△ABC=
12
ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．
解答下列問(wèn)題：
如圖2，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C（1，4），交x軸于點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)B為拋物線與y軸的交點(diǎn)，求直線AB的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸分別交AB、x軸于點(diǎn)D、M，連接PA、PB，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí)，求△CAB的鉛垂高CD及S△CAB；
（4）在（2）的條件下，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，△PAB的鉛垂高為h、面積為S，請(qǐng)分別寫出h和S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）如圖1，矩形ABCD，點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，
3
），求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)拋物線的解析式；
（2）如圖2，拋物線E：y=-
1
2
x2+bx+c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，其頂點(diǎn)在y軸左側(cè)，以O(shè)為頂點(diǎn)作矩形OADC，A、C為拋物線E上兩點(diǎn)，若AC∥x軸，AD=2CD，則拋物線的解析式是
 
；
（3）如圖3，點(diǎn)A、B、C分別為拋物線F：y=ax2+bx+c（a＜0）上的點(diǎn)，點(diǎn)B在對(duì)稱軸右側(cè)，點(diǎn)D在拋物線外，順次連接A、B、C、D四點(diǎn)，所成四邊形為矩形，且AC∥x軸，AD=2CD，求矩形ABCD的周長(zhǎng)（用含a的式子表示）．
精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，將拋物線y=-
1
2
x2平移后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A（6，0），平移后的拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)B，對(duì)稱軸與拋物線y=-
1
2
x2相交于點(diǎn)C，則圖中直線BC與兩條拋物線圍成的陰影部分的面積為（　�。�

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

閱讀材料：
如圖1，過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫△ABC的“鉛垂高”（h）．我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：S△ABC=ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．

解答下列問(wèn)題：
如圖2，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C（1，4），交x軸于點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)B為拋物線與y軸的交點(diǎn)，求直線AB的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線（第一象限內(nèi)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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