如圖，拋物線y=ax2+bx（a＞0）與雙曲線y=
k
x
相交于點A，B．已知點A的坐標為（1，4），點B在第三象限內，連結AB交y軸于點E，且S△BOE=
2
3
S△AOB（O為坐標原點）．
（1）求此拋物線的函數(shù)關系式；
（2）過點A作直線平行于x軸交拋物線于另一點C．問在y軸上是否存在點P，使△POC與△OBE相似，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請簡要說明理由；
（3）拋物線與x軸的負半軸交于點D，過點B作直線l∥y軸，點Q在直線l上運動，且點Q的縱坐標為t，試探索：當S△AOB＜S△QOD＜S△BOC時，求t的取值范圍．
（1）點A（1，4）在雙曲線y=
k
x
上，得k=4
∵S△BOE=
2
3
S△AOB，
∴|xA|：|xB|=1：2
∴xB=-2，
∵點B在雙曲線y=
k
x
上，
∴點B的坐標為（-2，-2）
∵點A，B都在y=ax2+bx（a＞0）上，
∴
a+b=4
4a-2b=-2

解得：
a=1
b=3

所求的二次函數(shù)的解析式為：y=x2+3x；

（2）∵點C坐標為（-4，4），若點P在y軸的正半軸，則∠POC=45°，不符合題意．
所以點P在y軸的負半軸上，則∠POC=45°
此時有∠POC=∠BOE=135°，
所以
OP
OC
=
OE
OB
或
OP
OC
=
OB
OE
時，
△POC與△OBE相似
∴OP=4或8．
所以點P的坐標為（0，-4）或（0，-8）；

（3）設點Q的坐標為（-2，t）
∵直線AB經過點A（1，4），B（-2，-2）
∴直線AB的函數(shù)關系式為y=2x+2
∴E（0，2）
由y=x2+3x可知點D（-3，0）．
∵S△AOB=3，S△QOD=
3
2
|t|，S△BOC=8
∴3＜
3
2
|t|＜8
當t≥0時，2＜t＜
16
3

當t＜0時，-
16
3
＜t＜-2
綜上：2＜t＜
16
3
或-
16
3
＜t＜-2
練習冊系列答案
相關習題

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已知直線y=-
3
x+
3
與x軸交于點A，與y軸交于點B，C是x軸上一點，如果∠ABC=∠ACB，
求：（1）點C的坐標；
（2）圖象經過A、B、C三點的二次函數(shù)的解析式．

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已知拋物線y=kx2+2kx-3k，交x軸于A、B兩點（A在B的左邊），交y軸于C點，且y有最大值4．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在點P，使△PBC是直角三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．

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已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經過點（-1，0），（0，2），當y隨x的增大而增大時，x的取值范圍是______．

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如圖已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（-3，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D的坐標為（-2，0）．問：直線AC上是否存在點F，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

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如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0）、E（5，0）兩點，與y軸交于點B（0，5）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線頂點為D，求四邊形AEDB的面積．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象如圖所示，其頂點坐標為M（1，-4）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）將二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結合新圖象回答：當直線y=x+n與這個新圖象有兩個公共點時，求n的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知二次函數(shù)y=ax2-2ax+3的圖象與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，其頂點為D，直線DC的函數(shù)關系式為y=kx+b，又tan∠OBC=1．
（1）求二次函數(shù)的解析式和直線DC的函數(shù)關系式；
（2）求△ABC的面積．

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如圖，經過原點的拋物線y=-x2+2mx與x軸的另一個交點為A．點P在一次函數(shù)y=2x-2m的圖象上，PH⊥x軸于H，直線AP交y軸于點C，點P的橫坐標為1．（點C不與點O重合）
（1）如圖1，當m=-1時，求點P的坐標．
（2）如圖2，當0＜m＜
1
2
時，問m為何值時
CP
AP
=2？
（3）是否存在m，使
CP
AP
=2？若存在，求出所有滿足要求的m的值，并定出相對應的點P坐標；若不存在，請說明理由．

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