Question

15．如圖，AD是⊙O的切線，切點為A，AB是⊙O的弦，過點B作BC∥AD，交⊙O于點C，連接AC，過點C作CD∥AB，交AD于點D，連接AO并延長AO交BC于點M，交$\widehat{BC}$于點E，交過點C的直線于點P，且∠BCP=∠ACD．
（1）求證：∠BAP=∠CAP；
（2）判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若AB=9，BC=6，求PC的長．

Answer 1

分析 （1）由AD是⊙O的切線，BC∥AD，易得AO⊥BC，然后由垂徑定理求得$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，繼而證得結(jié)論；
（2）過C點作直徑CF，連接FB，由CF為直徑得∠F+∠BCE=90°，由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，而∠BAC=∠F，∠BCP=∠ACD，所以∠F=∠BCP，于是∠BCP+∠BCF=90°，然后根據(jù)切線的判斷得到結(jié)論；
（3）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥AD，而BC∥AD，則AM⊥BC，根據(jù)垂徑定理求得BM與CM的長，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)有AC=AB=9，在Rt△AMC中根據(jù)勾股定理計算出AM=6$\sqrt{2}$，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OM=AM-r=6$\sqrt{2}$-r，在Rt△OCM中，根據(jù)勾股定理計算出r的值即可．

解答 （1）證明：∵AD是⊙O的切線，
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴OA⊥BC，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠BAP=∠CAP；

（2）PC與圓O相切，理由為：
解：過C點作直徑CF，連接EB，如圖，
∵CE為直徑，
∴∠FBC=90°，即∠F+∠BCF=90°，
∵AB∥DC，
∴∠ACD=∠BAC，
∵∠BAC=∠F，∠BCP=∠ACD．
∴∠F=∠BCP，
∴∠BCP+∠BCF=90°，即∠PCF=90°，
∴CF⊥PC，
∴PC與圓O相切；

（3）解：∵AD是⊙O的切線，切點為A
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴AM⊥BC，
∴BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AC=AB=9，
在Rt△AMC中，AM=$\sqrt{A{C}^{2}-C{M}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OM=AM-r=6$\sqrt{2}$-r，
在Rt△OCM中，OM²+CM²=OC²，即3²+（6$\sqrt{2}$-r）²=r²，
解得：r=$\frac{27\sqrt{2}}{8}$，
∴CF=2r=$\frac{27\sqrt{2}}{4}$，OM=6$\sqrt{2}$-$\frac{27\sqrt{2}}{8}$=$\frac{21\sqrt{2}}{8}$，
∴BF=2OM=$\frac{21\sqrt{2}}{4}$，
∵∠F=∠MCP，
∴△PCM∽△CFB，
∴PC：CF=CM：FB，
∴$\frac{PC}{\frac{27\sqrt{2}}{4}}$=$\frac{3}{\frac{21\sqrt{2}}{4}}$，
∴PC=$\frac{27}{7}$．

點評 此題屬于圓的綜合題，考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理以及勾股定理等知識．注意準(zhǔn)確作出輔助線、利用方程思想求解是解此題的關(guān)鍵．