Question

如圖①，△ABC中，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F．
探究一：猜想圖①中線段 EF與BE、CF間的關(guān)系并證明．
探究二：設(shè)AB=8，AC=6，求△AEF的周長．
探究三：如圖②，若△ABC中∠B的平分線BO與△ABC的外角平分線CO交于O，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB于E，交AC于F．這時EF與BE、CF的關(guān)系又如何？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì),平行線的性質(zhì)

專題：

分析：探究一：可利用平行和角平分線得到BE=OE，OF=CF，可得出結(jié)論EF=BE+CF；
探究二：利用探究一的結(jié)論，EF=BE+CF可知三角形的周長為AB+AC；
探究三：可利用類似探究一的方法得到結(jié)論BE=EF+CF．

解答：解：探究一：
猜想：EF=BE+CF，證明如下：
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠CBO，
∴∠ABO=∠EOB，
∴BE=OE，
同理：OF=CF，
∴EF=EO+OF=BE+CF；
探究二：
C_△AEF=AE+EF+AF
=AE+（EO+OF）+FC
=（AE+BE）+（AF+CF）
=AB+AC
=8+6
=14；
探究三：關(guān)系是BE=EF+FC，證明如下：
∵OB平分∠ABC，
∴∠EBO=∠CBO，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠CBO，
∴BE=OE，
同理：OF=CF，
∴BE=EO=EF+FO=EF+FC．

點(diǎn)評：本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，結(jié)合平行得到BE=EO，CF=OF是解題的關(guān)鍵．