Question

如圖，已知△ABC中，D為BC中點，AD=AC，DE⊥BC，DE與AB交于E，EC與AD相交于點F，
（1）△ABC與△FCD相似嗎？請說明理由；
（2）若S_△FCD=5，BD=10，求DE的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明∠B=∠FCD，∠FDC=∠ACB，即可解決問題；
（2）如圖，作輔助線，首先求出FN的長度，進而求出AM的長度；運用△BDE∽△BMA，列出比例式即可解決問題．

解答：解：（1）△ABC∽△FCD；理由如下：
∵DE⊥BC，且BC=CD，
∴EB=EC，∠B=∠FCD；
又∵AD=AC，
∴∠FDC=∠ACB，
∴△ABC∽△FCD．
（2）如圖，分別過點A、F作AM⊥BC、FN⊥BC，垂足分別為M、N；
∵S_△FCD=5，BD=10，
∴

1

2

×5×FN=5，解得：FN=2；
∵△ABC∽△FCD，
∴

AM

FN

=

BC

DC

=2，
∴AM=4；
∵AD=AC，AM⊥DC，
∴DM=CM；而BD=DC，
∴BD：BM=2：3；
∵DE∥AM，
∴△BDE∽△BMA，
∴DE：AM=BD：BM，
∴DE=

2

3

×4=

8

3

．

點評：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應用問題；解題的關鍵是作輔助線，靈活運用相似三角形的有關定理來分析、判斷、推理或解答．