Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點為D，與y軸交于點C，直線CD的解析式為y=

3

x+2

3

．
（1）求b、c的值；
（2）過C作CE∥x軸交拋物線于點E，直線DE交x軸于點F，且F（4，0），求拋物線的解析式；
（3）在（2）條件下，拋物線上是否存在點M，使得△CDM≌△CEA？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）首先根據(jù)直線CD的解析式求得點C的坐標，從而求得拋物線的c值，然后根據(jù)點A的坐標過D作DM⊥y軸于M，表示出頂點坐標后代入拋物線的頂點式展成一般形式后即可求得b的值；
（2）作拋物線的對稱軸交x軸于點B，根據(jù)∠DCM=30°，得到∠CDB=30°，由拋物線的對稱性，可得△DCE為等邊三角形，根據(jù)拋物線的對稱軸表示出點D的坐標即可代入函數(shù)解析式求得拋物線的解析式．
（3）過C作CM⊥DE于N交拋物線于點M，此時，△CDM≌△CEM，然后根據(jù)△CDE為等邊三角形，得到CM為DE的中垂線，從而得到DM=EM，△CDM≌△CEM，求得直線的解析式后即可聯(lián)立求交點坐標．

解答：解：（1）∵直線CD的解析式為y=

3

x+2

3

，
∴C（0，2

3

），
∴c=2

3

，
設直線CD交x軸于點A，
∴A（-2，0），
∴

OA

OC

=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠OCA=30°
過D作DM⊥y軸于M，
∴∠DCM=30°，
∴C=

3

DM，
設拋物線的頂點橫坐標為h，則CM=

3

h，
∴D(h ， 2

3

+

3

h)…（3分）
∴y=a(x-h)2+2

3

+

3

h
代入C(0 ， 2

3

)
∴2

3

=ah2+2

3

+

3

h
∴h₁=0（舍），h2=-

3

a

∴y=a(x+

3

a

)2+2

3

+

3

hy=ax2+2

3

x+

3

a

+2

3

+

3

h
∴b=2

3

．

（2）作拋物線的對稱軸交x軸于點B，（如圖）
∵∠DCM=30°，
∴∠CDB=30，由拋物線的對稱性，可得△DCE為等邊三角形．
∵CE∥x軸，
∴△DAF為等邊三角形，
∴B為AF中點，
∵A（-2，0），F(xiàn)（4，0），
∴B（1，0）
拋物線對稱軸為直線x=1，
∴-

b

2a

=1，
∴-

2 3

2a

=1
∴a=-

3

，
∴D(1 ， 3

3

)，
∴y=-

3

(x-1)2+3

3

y=-

3

x2+2

3

x+2

3

．
（3）存在．過C作CM⊥DE于N交拋物線于點M，
此時，△CDM≌△CEM
∵△CDE為等邊三角形，
∴CM為DE的中垂線，
∴DM=EM，
∴△CDM≌△CEM，
∵D(1 ， 3

3

)，E(2 ， 2

3

)
∴N(

3

2

 ， 

5 3

2

)
設y_CN=kx+b代入(0 ， 2

3

) ， (

3

2

 ， 

5 3

2

)
解得yCN=

3

3

x+2

3

…（11分）

y= 3 3 x+2 3 y=- 3 x2+2 3 x+2 3

解得M(

5

3

 ， 

23 3

9

)．…（12分）

點評：本題是中考壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、軸對稱的性質(zhì)等重要知識點，涉及考點較多，有一點的難度．