某數(shù)學興趣小組開展了一次活動,過程如下:
設(shè)∠BAC=θ(0°<θ<90°).現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間,并使小棒兩端分別落在射線AB,AC上.
活動一:
如圖甲所示,從點A1開始,依次向右擺放小棒,使小棒與小棒在端點處互相垂直,A1A2為第1根小棒.
數(shù)學思考:
(1)小棒能無限擺下去嗎?答:
 
.(填“能”或“不能”)
(2)設(shè)AA1=A1A2=A2A3=1.
①θ=
 
度;
②若記小棒A2n-1A2n的長度為an(n為正整數(shù),如A1A2=a1,A3A4=a2,…) 求出此時a2,a3的值,并直接寫出an(用含n的式子表示).
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活動二:
如圖乙所示,從點A1開始,用等長的小棒依次向右擺放,其中A1A2為第1根小棒,且A1A2=AA1
數(shù)學思考:
(3)若已經(jīng)擺放了3根小棒,θ1=
 
,θ2=
 
,θ3=
 
;(用含θ的式子表示)
(4)若只能擺放4根小棒,求θ的范圍.
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分析:(1)因為角的兩條邊為兩條射線,沒有長度,所以小棒可以無限擺放下去;
(2)①根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì),即可推出,②結(jié)合已知條件,根據(jù)直角三角形的性質(zhì),即可得出A1A3=
2
,AA3=1+
2
,由A1A2∥A3A4∥A5A6,可以推出∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5,得AA3=A3A4,AA5=A5A6,即可推出a2、a3的長度,然后推出an的關(guān)于你的表達式;
(3)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)即可推出θ1=∠A2A1A3=2θ,即可推出θ2,同理即可推出θ2,θ3;
(4)根據(jù)(3)的結(jié)論,和三角形外角的性質(zhì),即可推出不等式,解不等式即可.
解答:解:(1)能.
因為角的兩條邊為兩條射線,沒有長度,所以小棒可以無限擺放下去;

(2)①∵AA1=A1A2=A2A3=1,A1A2⊥A2A3
∴θ2=45°,
θ=22.5°.
故答案為22.5;

②∵AA1=A1A2=A2A3=1,A1A2⊥A2A3,
∴A1A3=
2
,AA3=1+
2

又∵A2A3⊥A3A4,
∴A1A2∥A3A4
同理:A3A4∥A5A6
∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5,
∴AA3=A3A4,AA5=A5A6
∴a2=A3A4=AA3=1+
2
,
a3=AA3+A3A5=a2+A3A5
∵A3A5=
2
a2,
∴a3=A5A6=AA5=a2+
2
a2=(
2
+1)2

an=(
2
+1)n-1


(3)∵A1A2=AA1
∴θ1=∠A2A1A3=2θ,
∴θ2=∠A2A4A3=θ+2θ=3θ,
∴θ3=∠A2A4A3+θ=4θ,
故答案為θ1=2θ,θ2=3θ,θ3=4θ;

(4)由題意得:
5θ≥90°
4θ<90°
,
∴18°≤θ<22.5°.
點評:本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、解一元一次不等式、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點,解題的關(guān)鍵在于找到等量關(guān)系,求相關(guān)角的度數(shù)等.
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相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

某數(shù)學興趣小組開展了一次活動,過程如下:
設(shè)∠BAC=θ(0°<θ<90°)小棒依次擺放在兩射線之間,并使小棒兩端分別落在兩射線上.
活動一:
如圖甲所示,從點A1開始,依次向右擺放小棒,使小棒與小棒在端點處互相垂直,A1A2為第1根小棒.
數(shù)學思考:
(1)小棒能無限擺下去嗎?答:
 
.(填“能“或“不能”)
(2)設(shè)AA1=A1A2=A2A3=1.
①θ=
 
度;
②若記小棒A2n-1A2n的長度為an(n為正整數(shù),如A1A2=a1,A3A4=a2,…),求出此時a2,a3的值,并直接寫出an(用含n的式子表示).
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活動二:
如圖乙所示,從點A1開始,用等長的小棒依次向右擺放,其中A1A2為第1根小棒,且A1A2=AA1
數(shù)學思考:
(3)若已經(jīng)向右擺放了3根小棒,則θ1=
 
,θ2=
 
,θ3=
 
(用含θ的式子表示);
(4)若只能擺放4根小棒,求θ的范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•錫山區(qū)一模)某數(shù)學興趣小組開展了一次活動,過程如下:設(shè)∠BAC=θ(0°<θ<90°).現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線AB、AC之間,并使小棒兩端分別落在兩射線上,從點A1開始,用等長的小棒依次向右擺放,其中A1A2為第1根小棒,且A1A2=AA1
(1)若已經(jīng)向右擺放了3根小棒,且恰好有∠A4A3A=90°,則θ=
22.5°
22.5°

(2)若只能擺放5根小棒,則θ的范圍是
15°≤θ<18°
15°≤θ<18°

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•寧德)某數(shù)學興趣小組開展了一次活動,過程如下:
如圖1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小敏將一塊三角板中含45°角的頂點放在A上,從AB邊開始繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角α,其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點D,直角邊所在的直線交直線BC于點E.
(1)小敏在線段BC上取一點M,連接AM,旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn):若AD平分∠BAM,則AE也平分∠MAC.請你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論;
(2)當0°<α≤45°時,小敏在旋轉(zhuǎn)中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關(guān)系:BD2+CE2=DE2
同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進行解決;小穎的想法:將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF,連接EF(如圖2)
小亮的想法:將△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG,連接EG(如圖3);
小敏繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板,在探究中得出當45°<α<135°且α≠90°時,等量關(guān)系BD2+CE2=DE2仍然成立,先請你繼續(xù)研究:當135°<α<180°時(如圖4)等量關(guān)系BD2+CE2=DE2是否仍然成立?若成立,給出證明;若不成立,說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

某數(shù)學興趣小組開展了一次活動,過程如下:
設(shè)∠BAC=θ(0°<θ<90°).現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線AB,AC之間,并使小棒兩端分別落在兩射線上.活動一:如圖所示,從點A1開始,依次向右擺放小棒,使小棒與小棒在兩端點處互相垂直,A1A2為第1根小棒.
數(shù)學思考:
(1)小棒能無限擺下去嗎?答:
.(填“能”或“不能”)
(2)設(shè)AA1=A1A2=A2A3=1.①θ=
22.5
22.5
度; ②若記小棒A2n-1A2n的長度為an(n為正整數(shù),如A1A2=a1,A3A4=a2,),求此時a2,a3的值,并直接寫出an(用含n的式子表示).

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

閱讀材料:
學習了無理數(shù)后,某數(shù)學興趣小組開展了一次探究活動:估算
13
的近似值.
小明的方法:
9
13
16
,
設(shè)
13
=3+k(0<k<1).
(
13
)2=(3+k)2

∴13=9+6k+k2
∴13≈9+6k.
解得 k≈
4
6

13
≈3+
4
6
≈3.67.
問題:
(1)請你依照小明的方法,估算
41
的近似值;
(2)請結(jié)合上述具體實例,概括出估算
m
的公式:已知非負整數(shù)a、b、m,若a<
m
<a+1,且m=a2+b,則
m
a+
b
2a
a+
b
2a
(用含a、b的代數(shù)式表示);
(3)請用(2)中的結(jié)論估算
37
的近似值.

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