Question

已知四邊形ABCD的外接圓⊙O的半徑為5，對角線AC與BD的交點為E，且AB²=AE·AC，BD=8，

1.判斷△ABD的形狀并說明理由；

2.求△ABD的面積

 

Answer 1

【答案】

 

1.△ABD是等腰三角形

如圖，連接OA、OB，交DB于F；

∵AB²=AE•AC，即；

又∵∠BAE=∠CAB，

∴△ABE∽△ACB；

∴∠DBA=∠BCA；

而∠BCA=∠BDA，∴∠DBA=∠BDA；

∴AB=AD，

∴△ABD是等腰三角形。（4分）

2.∵AB=AD，

∴OA⊥BD，且F為BD的中點；

∴BF=4；

在Rt△BOF中，OB²=BF²+OF²，∴OF=3；

而OA=5，∴AF=2；

∴S_△ABD=BD×AF=8．（10分）

【解析】求△ABD的面積，已知了底邊BD的長，因此只需求出BD邊上的高即可．連接OA、OB，交DB于F；已知AB²=AE•AC，易證得△ABE∽△ACB；可得∠BCA=∠DBA，即弧AD=弧AB，根據(jù)垂徑定理，可知OA垂直平分BD；易求得OF=3，則AF=2，由此可求得△ABD的面積．