Question

已知拋物線y=

1

2

x²+3x-1和直線y=x-k
（1）當(dāng)k為何值時(shí)，拋物線與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)？
（2）當(dāng)k為何值時(shí)，拋物線與直線有一個(gè)公共點(diǎn)？
（3）當(dāng)k為何值時(shí)，拋物線與直線沒(méi)有公共點(diǎn)？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：聯(lián)立兩解析式得到關(guān)于x的一元二次方程，利用一元二次方程根的判別式與根的情況可得到關(guān)于k的不等式，可求得k的范圍．

解答：解：
聯(lián)立解析式可得

y= 1 2 x2+3x-1 y=x-k

，消去y可得

1

2

x²+2x+k-1=0，
即x²+4x+（k-1）=0，其判別式為△=4²-4（k-1）=16-4（k-1）=20-4k，
（1）當(dāng)△＞0，即20-4k＞0時(shí)，該一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則方程組有兩組不同的解，
即拋物線與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k＜5；
（2）當(dāng)△=0，即20-4k=0時(shí)，該一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則方程組有一組解，
即拋物線與直線有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k=5；
（3）當(dāng)△＜0，即20-4k＜0時(shí)，該一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則方程組無(wú)實(shí)數(shù)解，
即拋物線與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，此時(shí)k＞5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根的判別式，把交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．