Question

10．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交y軸于A點，交x軸于B（2，0），C（6，0）兩點．已知A點坐標為（0，3）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）已知點P事拋物線上的一個動點，且位于A、C兩點之間，問：當點P運動到什么位置時，△PAC的面積最大？并求出此時P點的坐標和△P′AC的最大面積；
（3）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得第PQ的長，根據(jù)三角形的面積，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得CE的長，根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑，直線與圓相交，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)y=ax²+bx+c，將A、B、C的坐標代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+3=0}\\{36a+6b+3=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線為y=$\frac{1}{4}$x²-2x+3；
（2）如圖1，
過點P作平行于y軸的直線交AC于點Q；
設(shè)AC的解析式為y=kx+b，
將A、C點坐標代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3；
設(shè)P點的坐標為（m，$\frac{1}{4}$x²-2x+3），則Q點的坐標為（m，-$\frac{1}{2}$x+3）；
∴PQ═-$\frac{1}{2}$m+3-（$\frac{1}{4}$m²-2m+3）=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m．
∵S_△PAC=S_△PAQ+S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m）×6
=-$\frac{3}{4}$（m-3）²+$\frac{27}{4}$；
∴當m=3時，△PAC的面積最大為$\frac{27}{4}$；
此時，P點的坐標為（3，-$\frac{3}{4}$）；
（3）相交．
證明：連接CE，則CE⊥BD，
∵B（2，0），C（6，0），
∴對稱軸x=4，
AB=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，BC=4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，
∴∠OAB=∠CBE，
∵∠AOB=∠CEB，
∴△AOB∽△BEC，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{OB}{EC}$，即$\frac{\sqrt{13}}{4}$=$\frac{2}{CE}$，解得CE=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$，
∵$\frac{8\sqrt{13}}{13}$＞2，
∴拋物線的對稱軸l與⊙C相交．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵；利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出半徑的長是解題關(guān)鍵，注意圓心到直線的距離小于半徑，直線與圓相交．