(2013•吉林)如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,點P(0,m2)(m>0)在y軸正半軸上,過點P作平行于x軸的直線,分別交拋物線C1:y=
1
4
x2于點A、B,交拋物線C2:y=
1
9
x2于點C、D.原點O關(guān)于直線AB的對稱點為點Q,分別連接OA,OB,QC和QD.
【猜想與證明】
填表:
m 1 2 3
AB
CD
      
     
由上表猜想:對任意m(m>0)均有
AB
CD
=
2
3
2
3
.請證明你的猜想.
【探究與應(yīng)用】
(1)利用上面的結(jié)論,可得△AOB與△CQD面積比為
2
3
2
3
;
(2)當(dāng)△AOB和△CQD中有一個是等腰直角三角形時,求△CQD與△AOB面積之差;
【聯(lián)想與拓展】
如圖②過點A作y軸的平行線交拋物線C2于點E,過點D作y軸的平行線交拋物線C1于點F.在y軸上任取一點M,連接MA、ME、MD和MF,則△MAE與△MDF面積的比值為
8
27
8
27

分析:猜想與證明:
把P點的縱坐標(biāo)分別代入C1、C2的解析式就可以AB、CD的值,就可以求出結(jié)論,從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律得出對任意m(m>0)將y=m2代入兩個二次函數(shù)的解析式就可以分別表示出AB與CD的值,從而得出均有
AB
CD
=
2
3
;
探究與證明:
(1)由條件可以得出△AOB與△CQD高相等,就可以得出面積之比等于底之比而得出結(jié)論;
(2)分兩種情況討論,當(dāng)△AOB為等腰直角三角形時,可以求出m的值就可以求出△AOB的面積,從而求出△CQD的面積,就可以求出其差,當(dāng)△CQD為等腰直角三角形時,可以求出m的值就可以求出△CDQ的面積,進而可以求出結(jié)論;
聯(lián)想與拓展:
由猜想與證明可以得知A、D的坐標(biāo),可以求出F、E的縱坐標(biāo),從而可以求出AE、DF的值,由三角形的面積公式分別表示出△MAE與△MDF面積,就可以求出其比值.
解答:解:猜想與證明:
當(dāng)m=1時,1=
1
4
x2,1=
1
9
x2
∴x=±2,x=±3,
∴AB=4,CD=6,
AB
CD
=
2
3
;
當(dāng)m=2時,4=
1
4
x2,4=
1
9
x2,
∴x=±4,x=±6,
∴AB=8,CD=12,
AB
CD
=
2
3
;
當(dāng)m=3時,9=
1
4
x2,9=
1
9
x2
∴x=±6,x=±9,
∴AB=12,CD=18,
AB
CD
=
2
3
;
∴填表為
m 1 2 3
AB
CD
2
3
   
2
3
  

2
3
對任意m(m>0)均有
AB
CD
=
2
3

理由:將y=m2(m>0)代入y=
1
4
x2,得x=±2m,
∴A(-2m,m2),B(2m,m2),
∴AB=4m.
將y=m2(m>0)代入y=
1
9
x2,得x=±3m,
∴C(-3m,m2),D(3m,m2),
∴CD=6m.
AB
CD
=
4m
6m
=
2
3
,
∴對任意m(m>0)均有
AB
CD
=
2
3
;

探究與運用:
(1)∵O、Q關(guān)于直線CD對稱,
∴PQ=OP.
∵CD∥x軸,
∴∠DPQ=∠DPO=90°.
∴△AOB與△CQD的高相等.
AB
CD
=
2
3
,
∴AB=
2
3
CD.
∵S△AOB=
1
2
AB•PO,S△CQD=
1
2
CD•PQ,
S△AOB
S△CQD
=
1
2
AB•PO
1
2
CD•PQ
=
2
3

(2)當(dāng)△AOB為等腰直角三角形時,如圖3,
∴PO=PB=m2,AB=2OP
∴m2=
1
4
m4
∴4m2=m4,
∴m1=0,m2=-2,m3=2.
∵m>0,
∴m=2,
∴OP=4,AB=8,
∴PD=6,CD=12.
∴S△AOB=
1
2
×8×4
=16
∴S△CQD=
1
2
×12×4
=24,
∴S△CQD-S△AOB=24-16=8.
當(dāng)△CQD是等腰直角三角形時,如圖4,
∴PQ=PO=PD=m2,CD=2QP
∴m2=
1
9
m4,
∴9m2=m4
∴m1=0,m2=-3,m3=3.
∵m>0,
∴m=3,
∴OP=6,AB=12,
∴PQ=9,CD=18.
∴S△AOB=
1
2
×9×12
=54
∴S△CQD=
1
2
×9×18
=81,
∴S△CQD-S△AOB=81-54=27;

聯(lián)想與拓展
由猜想與證明可以得知A(-2m,m2),D(3m,m2),
∵AE∥y軸,DF∥y軸,
∴E點的橫坐標(biāo)為-2m,F(xiàn)點的橫坐標(biāo)為3m,
∴y=
1
9
(-2m)2,y=
1
4
(3m)2,
∴y=
4
9
m2,y=
9
4
m2,
∴E(-2m,
4
9
m2),F(xiàn)(3m,
9
4
m2),
∴AE=m2-
4
9
m2=
5
9
m2,DF=
9
4
m2-m2=
5
4
m2
S△AEM=
1
2
×
5
9
m2•2m=
5
9
m3,
S△DFM=
1
2
×
5
4
m2•3m=
15
8
m3
S△AEM
S△DFM
=
5
9
m3
15
8
m3
=
8
27

故答案為:
2
3
;
2
3
;
8
27
點評:本題考出了對稱軸為y軸的拋物線的性質(zhì)的運用,由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的運用,等腰直角三角形的性質(zhì)的運用,三角形的面積公式的運用,軸對稱的性質(zhì)的運用,在解答本題時運用兩個拋物線上的點的特征不變建立方程求解是關(guān)鍵.
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20
20
度.

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(1)當(dāng)點P運動到點F時,CQ=
5
5
cm;
(2)在點P從點F運動到點D的過程中,某一時刻,點P落在MQ上,求此時BQ的長度;
(3)當(dāng)點P在線段FD上運動時,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

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