Question

14．為了求1+2+2²+2，³+…2¹⁰⁰的值，可令S=1+2+2²+2³…+2¹⁰⁰，則2S=2+2²+2³+…+2¹⁰¹，因此2S-S=2¹⁰¹-1，所以S=2¹⁰¹-1，即1+2+2²+2³+…+2¹⁰⁰=2¹⁰¹-1，仿照以上推理計算1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁶的值是$\frac{{3}^{2017}-1}{2}$．

Answer 1

分析 分析：設S=1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁶，根據等式的性質，此等式的兩邊同時乘以3，得3S=3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰¹⁷，兩等式相減得3S-S=3²⁰¹⁷-1，解關于S的方程可求解．

解答 解：令S=1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁶，則
3S=3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰¹⁷，
因此3S-S=3²⁰¹⁷-1，
所以S=$\frac{{3}^{2017}-1}{2}$，
故填：$\frac{{3}^{2017}-1}{2}$．

點評 本題應用了數學上的換元法，設所求的代數式為S，應用等式的性質將其恒等變形，利用方程的思想求解．