Question

如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，AB經過圓心O，且與小圓相交于點A、與大圓相交于點B．小圓的切線AC與大圓相交于點D，且CO平分∠ACB．

（1）試判斷BC所在直線與小圓的位置關系，并說明理由；

（2）試判斷線段AC、AD、BC之間的數(shù)量關系，并說明理由；

（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圓與小圓圍成的圓環(huán)的面積．（結果保留π）

　

Answer 1

【考點】切線的判定與性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理．

【專題】幾何綜合題；壓軸題．

【分析】（1）只要證明OE垂直BC即可得出BC是小圓的切線，即與小圓的關系是相切．

（2）利用全等三角形的判定得出Rt△OAD≌Rt△OEB，從而得出EB=AD，從而得到三者的關系是前兩者的和等于第三者．

（3）根據(jù)大圓的面積減去小圓的面積即可得到圓環(huán)的面積．

【解答】解：（1）BC所在直線與小圓相切．

理由如下：

過圓心O作OE⊥BC，垂足為E；

∵AC是小圓的切線，AB經過圓心O，

∴OA⊥AC；

又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，

∴OE=OA，

∴BC所在直線是小圓的切線．

（2）AC+AD=BC．

理由如下：

連接OD．

∵AC切小圓O于點A，BC切小圓O于點E，

∴CE=CA；

∵在Rt△OAD與Rt△OEB中，，

∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL），

∴EB=AD；

∵BC=CE+EB，

∴BC=AC+AD．

（3）∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm，

∴AC=6cm；

∵BC=AC+AD，

∴AD=BC﹣AC=4cm，

∵圓環(huán)的面積為：S=π（OD）²﹣π（OA）²=π（OD²﹣OA²），

又∵OD²﹣OA²=AD²，

∴S=4²π=16π（cm²）．

【點評】此題考查了學生對切線的性質與判定，全等三角形的判定，勾股定理等知識點的綜合運用能力．