Question

如圖△ABC內(nèi)接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于點K，過點A作⊙O的切線交CB的延長線于點E
（1）求證：∠EAB=∠ACE；
（2）連接BD，若∠E=∠DAB，

BK

BD

=

3

5

，DK=2

5

，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過A作⊙O的直徑，交⊙O于F，連接CF，由圓周角定理和切線的性質(zhì)可證得結(jié)論；
（2）連接CD交AF于G，由條件可證明△ABK∽△CDK∽△ADC，且都是等腰三角形，利用相似三角形的性質(zhì)可求得CD，進一步可求得AF，可求得半徑．

解答：（1）證明：如圖1，過A作⊙O的直徑，交⊙O于F，連接CF，

∵AF是直徑，
∴∠ACF=90°，即∠ACB+∠BCF=90°，
∵∠BAF與∠BCF同弧BF，
∴∠BAF=∠BCF，
∴∠ACE+∠BAF=90°
∵AE為⊙O的切線，
∴∠EAB+∠BAF=90°，
∴∠EAB=∠ACE；
（2）解：如圖2，連接CD交AF于G，

∵AD平分∠BAC，∠E=∠BAD，
∴BD=CD，∠BAD=∠DAC=∠E，
∵∠EAB=∠ACE，
而∠BAK=∠EAB+∠BAD，∠AKB=∠ACB+∠KAC，
∴∠BAK=∠AKB，即△ABK是等腰三角形，
∵∠ABC和∠ADC同弧AC，
∴∠ABC=∠ADC，
∴△ABK∽△CDK∽△ADC，且都是等腰三角形，
∴CK=CD=BD，AD=AC，
∵

BK

BD

=

3

5

，
∴

AK

AD

=

BK

CD

=

3

5

，
∵DK=2

5

，
∴AK=3

5

，AD=5

5

，
∵

CD

DK

=

AD

CD

∴CD=5

2

∵△ADC是等腰三角形，AF是直徑，
∴AF⊥CD，CG=DG=

5 2

2

，
∴根據(jù)勾股定理AG=

15 2

2

，
∵△AFC∽△ACG，
∴

AF

AC

=

AC

AG

，
∴AF=

25 2

3

，
∴⊙O的半徑為

25 2

6

．

點評：本題主要考查切線的性質(zhì)及圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，在（1）中作出過A的直徑，構(gòu)造垂直找到角之間的關(guān)系，在（2）中作出直徑證明△ABK∽△CDK∽△ADC，且都是等腰三角形，求得AF是解題的關(guān)鍵．