Question

如圖，在Rt△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，DE⊥AB交BC于E，M、N分別是AC、BC上的點(diǎn)，且DN⊥DM．
（1）求證：△DNE∽△MDA；
（2）若AC=6，BC=8，求tan∠DMN的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由DE⊥AB，DN⊥DM，根據(jù)同角的余角相等，即可得∠EDN=∠ADM，又由DE⊥AB，∠C=90°，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，即可得∠NED=∠A，根據(jù)由兩角對應(yīng)相等的三角形相似，即可證得△DNE∽△MDA；
（2）由△DNE∽△MDA，D是AB的中點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易得，即可證得Rt△BDE∽Rt△BCA，由AC=6，BC=8，即可求得tan∠DMN的值．
解答：解：（1）∵DE⊥AB，DN⊥DM，
∴∠EDN+∠EDM=∠EDM+∠ADM=90°，
∴∠EDN=∠ADM，
∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠NED+∠DEC=∠A+∠DEC=180°，
∴∠NED=∠A，
∴△DNE∽△MDA   …（5分）

（2）∵△DNE∽△MDA，
∴，
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴，
又∵∠B=∠B，
∴Rt△BDE∽Rt△BCA，
∴，
∴，
在Rt△MDN中，tan∠DMN===．…（9分）
點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及余角補(bǔ)角的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．