Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q（2，﹣1），且與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），點(diǎn)P是拋物線上的一動點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動（點(diǎn)P與A不重合），過點(diǎn)P作PD∥y軸，交AC于點(diǎn) D．

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求點(diǎn)P在運(yùn)動的過程中，線段PD的最大值；

（3）若點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，問是否存在以A，P，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；A（3，0），B（1，0）；（2）x＝時，PD取得最大值，最大值為；（3）存在；F點(diǎn)坐標(biāo)（2﹣，1）和（2+，1）．

【解析】

（1）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可得出拋物線的頂點(diǎn)式，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)可求出a的值，進(jìn)而可得出拋物線的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）由點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AC的函數(shù)關(guān)系式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2-4x+3）（0≤x＜3），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-x+3），進(jìn)而可得出PD=-x2+3x，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；
（3）分AP為邊及AP為對角線兩種情況考慮：①以AP為邊構(gòu)造平行四邊形，平移直線AP交x軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F，由點(diǎn)A的坐標(biāo)可設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，1），利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出x的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)；②以AP為對角線進(jìn)行構(gòu)造平行四邊形，由點(diǎn)A，E的縱坐標(biāo)為0，可得出點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為-1，此時點(diǎn)P，F(xiàn)重合，進(jìn)而可得出不存在這種情況，舍去．綜上，此題得解．

解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為Q（2，﹣1），

∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝a（x﹣2）2﹣1，

將C（0，3）代入y＝a（x﹣2）2﹣1，得：3＝a（0﹣2）2﹣1，

解得：a＝1，

∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝（x﹣2）2﹣1，即y＝x2﹣4x+3．

當(dāng)y＝0時，有x2﹣4x+3＝0，即（x﹣1）（x﹣3）＝0，

解得：x1＝1，x2＝3，

又∵拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．

（2）設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y＝mx+n（m≠0），

將A（3，0），C（0，3）代入y＝mx+n，得：

解得：，

∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+3．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣4x+3）（0≤x＜3），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，﹣x+3），

∴PD＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+ ，

∵﹣1＜0，

∴當(dāng)x＝時，PD取得最大值，最大值為．

（3）分兩種情況考慮：

①以AP為邊構(gòu)造平行四邊形，平移直線AP交x軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F，

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣1），

∴設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，1），

∴x2﹣4x+3＝1，解得：x1＝2﹣，x2＝2+，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2﹣，1）和（2+，1）；

②以AP為對角線進(jìn)行構(gòu)造平行四邊形，

∵點(diǎn)A，E的縱坐標(biāo)為0，

∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為﹣1，此時點(diǎn)P，F(xiàn)重合，

∴不存在這種情況，舍去．

綜上所述，符合條件的F點(diǎn)有兩個，即（2﹣，1）和（2+，1）．