Question

如圖1，已知△ABC中，AB=AC=6，∠A=90°，D為直線BC上的點，過D作DE∥AB，DF∥AC分別交AC、AB于E、F．

（1）若D在線段BC上，請將圖中所有的等腰直角三角形寫出來：

△ABC，△BDF，△CDE

（2）若D是線段BC上的一個動點，設△BDF的面積為S₁，△CDE的面積為S₂，點D在線段BC上運動過程中，能否使S₁+S₂=10？若能，請求出BD的長；若不能，請說明理由．
（3）當點D在線段BC的延長線上（如圖2），其它條件不變，試猜想線段DE、DF之間的數(shù)量關系，請直接寫出等式（不需證明）．

Answer 1

分析：（1）求出四邊形AEDF是矩形，根據(jù)矩形的每一個角都是直角可得∠AED=∠AFD=90°，從而得到等腰直角三角形；
（2）設BF=x，表示出AF，再根據(jù)矩形的對邊相等求出DE，然后根據(jù)等腰直角三角形的面積等于直角邊的平方的一半列出方程，然后求解即可；
（3）根據(jù)矩形的對邊相等可得AE=DF，再根據(jù)等腰直角三角形的兩直角邊相等可得CE=DE，從而得到DF-DE=AC．

解答：解：（1）∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∵∠A=90°，
∴四邊形AEDF是矩形，
∴∠AED=∠AFD=90°，
又∵AB=AC，∠A=90°，
∴等腰直角三角形有：△ABC，△BDF，△CDE；

（2）設BF=x，則AF=AB-BF=6-x，
所以，DE=6-x，
則

1

2

x²+

1

2

（6-x）²=10，
整理得，x²-6x+8=0，
解得，x₁=2，x₂=4，
此時，BD=

2

BF=2

2

或BD=

2

BF=4

2

；

（3）DF-DE=6．理由如下：
∵四邊形AEDF是矩形，
∴AE=DF，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=DE，
∴DF-DE=AC=6．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的應用，綜合題，但難度不大，熟記性質(zhì)與判定是解題的關鍵．