Question

如圖，點(diǎn)D是⊙O的直徑CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．
（1）根據(jù)你的判斷：BD是⊙O的切線嗎？為什么？
（2）若點(diǎn)E是劣弧BC上一點(diǎn)，AE與BC相交于點(diǎn)F，且△BEF的面積為10，△AFC的面積為20，試求∠BFA的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連結(jié)BO，則可得∠BAO=∠ABO，由AC為直徑結(jié)合已知∠DBA=∠BCD，可得∠DBO=90°可證得結(jié)論；
（2）可證得△BFE∽△AFC，可得出

BF

AF

=

1

2

，可求得∠AFB為45°．

解答：解：
（1）BD是⊙O的切線，理由如下：


連結(jié)BO，如圖∵BO=AO
∴∠BAO=∠ABO
∵AC為直徑
∴∠BAO+∠ACB=90°
∵∠DBA=∠BCD
∴∠DBA+∠ABO=90°
即∠DBO=90°
∴OB⊥DB
∴BD是⊙O的切線．
（2）由圓周角定理可知∠BEF=∠ACF，∠EBF=∠CAF
∴△BFE∽△AFC，
∴

BF

AF

=

S△BFE S△AFC

=

10 20

=

2

2

∴在Rt△ABF中，sin∠AFB=

2

2

∴∠AFB=45°．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查切線的判定方法及相似三角形判定和性質(zhì)的應(yīng)用，其中第二問是難點(diǎn)，解決的關(guān)鍵是利用三角形相似找到AF和BF之間的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)求得．