(2001•哈爾濱)已知:如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)分別為-1和3,與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3,△ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)M.
(1)求這條拋物線(xiàn)的解析式;
(2)求圖象經(jīng)過(guò)M、A兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式;
(3)在(1)中的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P,使過(guò)P、M兩點(diǎn)的直線(xiàn)與△ABC的兩邊AB、BC的交點(diǎn)E、F和點(diǎn)B所組成的△BEF和△ABC相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)題意即可得出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),可通過(guò)待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式.
(2)本題的關(guān)鍵是求出M點(diǎn)的坐標(biāo),可如果設(shè)圓M與y軸的另一交點(diǎn)為D,那么可根據(jù)相交弦定理求出OD的長(zhǎng),進(jìn)而可求出M點(diǎn)的縱坐標(biāo),同理可求出M的橫坐標(biāo),得出M的坐標(biāo)后可用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)MA的解析式.
(3)本題要分情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)EF∥CA時(shí),△ABC∽△EBF,可根據(jù)兩直線(xiàn)平行得出直線(xiàn)EF的斜率與直線(xiàn)AC的相同,然后根據(jù)直線(xiàn)EF過(guò)M點(diǎn),即可求出直線(xiàn)EF的解析式,然后聯(lián)立拋物線(xiàn)即可求出它們的交點(diǎn)P的坐標(biāo).
②當(dāng)∠BFE=∠A時(shí),△ABC∽△FBE,思路同①,可通過(guò)構(gòu)建相似三角形來(lái)求E點(diǎn)的坐標(biāo)以得出直線(xiàn)EF的解析式.可過(guò)A作AG⊥BC于G,過(guò)M作MH⊥AB于H,那么通過(guò)相似三角形AGC和MHE可求出E點(diǎn)的坐標(biāo),然后同①的方法進(jìn)行求解即可.
解答:解:(1)由題意可知:A(-1,0),B(3,0),C(0,3)
可得拋物線(xiàn)的解析式為y=-x2+2x+3

(2)設(shè)y軸于圓M的另一交點(diǎn)為D,根據(jù)相交弦定理可得出OD=OA•OB÷OC=1
由此可求得M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1
同理可求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1
∴M的坐標(biāo)為(1,1)
設(shè)過(guò)A、M點(diǎn)的直線(xiàn)解析式為y=kx+b,有
k+b=1,-k+b=0
∴k=,b=
直線(xiàn)解析式為:y=x+

(3)在(1)中的拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P
使△BEF與△ABC相似.
①若△BEF∽△ABC,則EF∥AC
∵直線(xiàn)AC為:y=3x+3
∴設(shè)直線(xiàn)EF為:y=3x+b1過(guò)m(1,1)
∴直線(xiàn)EF為:y=3x-2
點(diǎn)P的坐標(biāo)滿(mǎn)足y=3x-2,y=-x2+2x+3
解之x1=-+,x2=--
y1=-+,y2=--
所以P1(-+,-+),P2(--,--
②若△BEF∽△ABC,則∠ACG=∠MEH
過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于G,有∠AGC=∠MEH
∴△ACG∽△MEH
其中AC=,CG=,AG=2,MH=1
∵AG:CG=MH:HE,即2=1:HE
∴HE=,E的坐標(biāo)為(,0)
直線(xiàn)EM解析式為:y=2x-1
同理可得:P3(2,3),P4(-2,-5)
綜上所述:P1(-+,-+),P2(--,--),P3(2,3),P4(-2,-5).
點(diǎn)評(píng):本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),考查學(xué)生分類(lèi)討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
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