Question

7．如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，AE和過點C的切線互相垂直，垂足為E，AE交⊙O于點D，直線EC交AB的延長線于點P，連接AC，BC，PB：PC=1：2．
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）探究線段PB，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OC，證明OC∥AE．由此可得∠CAD=∠OCA，再證明∠OCA=∠OAC即可．
（2）因為：證明△PCA與△PBC相似，由其性質(zhì)可推出AB與PB的數(shù)量關(guān)系．

解答 （1）證明：連接OC．如下圖所示：

∵PE與⊙O相切，
∴OC⊥PE．
∴∠OCP=90°．
∵AE⊥PE，
∴∠AEP=90°=∠OCP．
∴OC∥AE．
∴∠CAD=∠OCA．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∴∠CAD=∠OAC．
∴AC平分∠BAD．
（2）PB，AB之間的數(shù)量關(guān)系為AB=3PB．理由如下：
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC+∠ABC=90°．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC．
∵∠PCB+∠OCB=90°，
∴∠PCB=∠PAC．
∵∠P=∠P，
∴△PCA∽△PBC．
∴PC²=PB•PA．
∵PB：PC=1：2，
∴PC=2PB．
∴PA=4PB．
∴AB=3PB．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)與相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解圓的切線的性質(zhì)與綜合各知識點聯(lián)系．