Question

19．如圖1，在△ABC中，CD、CE分別是△ABC的高和角平分線，∠BAC=α，∠B=β（α＞β）．

（1）若∠BAC=70°，∠B=40°，求∠DCE的度數(shù)；
（2）若∠BAC=α，∠B=β（α＞β），則∠DCE=$\frac{1}{2}$（α-β）（用α、β的代數(shù)式表示）；
（3）若將△ABC換成鈍角三角形，如圖2，其他條件不變，試用α、β的代數(shù)式表示∠DCE的度數(shù)并說明理由；
（4）如圖3，若CE是△ABC外角∠ACF的平分線，交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．且α-β=30°，則∠DCE=75°．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）三角形的內(nèi)角和是180°，已知∠BAC與∠ABC的度數(shù)，則可求出∠BAC的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠BCE，再利用三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠DEC的度數(shù)，進(jìn)而求出∠DCE的度數(shù)；
（2）（3）∠DCE=$\frac{α-β}{2}$，解法如（1）．
（4）作∠ACB的內(nèi)角平分線CE′，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=$\frac{1}{2}$∠ACB+$\frac{1}{2}$∠ACF=90°，進(jìn)而求出∠DCE的度數(shù)．

解答 解：（1）因?yàn)椤螦CB=180°-（∠BAC+∠B）=180°-（70°+40°）=70°，
又因?yàn)镃E是∠ACB的平分線，
所以∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB．
因?yàn)镃D是高線，
所以∠ADC=90°，
所以∠ACD=90°-∠BAC=20°，
所以∠DCE=∠ACE-∠ACD=35°-20°=15°．
（2）．因?yàn)椤螦CB=180°-（∠BAC+∠B）=180°-（α+β），
又因?yàn)镃E是∠ACB的平分線，
所以∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB．
因?yàn)镃D是高線，
所以∠ADC=90°，
所以∠ACD=90°-∠BAC=90°-α，
所以∠DCE=∠ACE-∠ACD=90°-$\frac{1}{2}$（α+β）-90°+α=$\frac{α-β}{2}$．
故答案為$\frac{α-β}{2}$
（3）∠DCE=$\frac{1}{2}$（α-β）．
因?yàn)椤螦CB=180°-（∠BAC+∠B）=180°-（α+β），
又因?yàn)镃E是∠ACB的平分線，
所以∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB．
因?yàn)镃D是高線，
所以∠ADC=90°，
所以∠ACD=∠BAC-90°=α-90°，
所以∠DCE=∠ACE+∠ACD=90°-$\frac{1}{2}$（α+β）+α-90°=$\frac{1}{2}$（α-β）；
（4）如圖，作∠ACB的內(nèi)角平分線CE′，
則∠DCE′=15°．
因?yàn)镃E是∠ACB的外角平分線，
所以∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=$\frac{1}{2}$∠ACB+$\frac{1}{2}$∠ACF=$\frac{1}{2}$（∠ACB+∠ACF）=90°，
所以∠DCE=90°-∠DCE′=90°-15°=75°．
即∠DCE的度數(shù)為75°，
故答案為75°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．解決（4）作輔助線是關(guān)鍵．